найти область значений функции y=9x+1/x
Чтобы найти область значений функции \( y = 9x + \frac{1}{x} \), начнём с анализа её поведения.
Определение функции: Функция задана как \( y = 9x + \frac{1}{x} \).
Определение области определения: Первое, что нужно отметить, это что \( x \) не может быть равен нулю, так как это приведет к делению на ноль. Таким образом, область определения функции - любые действительные числа, кроме нуля: \( x \in \mathbb{R}, x \neq 0 \).
Поведение функции:
Когда \( x > 0 \):
- При увеличении \( x \) функция \( 9x \) будет расти линейно, а \( \frac{1}{x} \) будет уменьшаться, внося небольшой вклад. Таким образом, при \( x \to 0^+ \) у нас получается \( y \to +\infty \), и при \( x \to +\infty \) \( y \to +\infty \). Поэтому для \( x > 0 \) функция достигает минимального значения в некоторой точке.
Когда \( x < 0 \):
- Аналогично, при уменьшении \( x \), \( 9x \) убывает, а \( \frac{1}{x} \) становится всё более отрицательным. Это значит, что при \( x \to 0^- \) \( y \to -\infty \), и при \( x \to -\infty \) \( y \to -\infty \). Это приводит нас к тому, что функция также имеет максимум для некоторого значения \( x < 0 \).
Нахождение экстремумов: Для нахождения минимального или максимального значения необходимо взять производную функции и найти её нули. \[ y' = 9 - \frac{1}{x^2} \] Уравняем производную нулю: \[ 9 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies x^2 = \frac{1}{9} \implies x = \pm \frac{1}{3} \] Однако, поскольку мы ищем максимум для отрицательного \( x \), нас будет интересовать только \( x = -\frac{1}{3} \).
Посчитаем значение функции в этой точке: \[ y\left(-\frac{1}{3}\right) = 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3 - 3 = -6 \] То есть при \( x = -\frac{1}{3} \) функция достигает максимума равного -6.
Область значений: Таким образом, на основании всего вышеперечисленного, мы можем заключить, что область значений функции \( y = 9x + \frac{1}{x} \) будет \( (-\infty, -6] \) и \( (-6, +\infty) \),то есть вся числовая ось, кроме значения -6.
Итак, область значений функции: \( y \in (-\infty, -6] \cup (-6, +\infty) \).
