2x³-x²-2x+1=0

Решение уравнения \(2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0\) можно выполнить с помощью метода рациональных корней и деления многочлена. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Поиск рациональных корней: Для поиска возможных рациональных корней применяем теорему о рациональных корнях. Возможные корни могут быть величинами вида \( \pm \frac{p}{q} \), где \( p \) — делители свободного члена (в нашем случае 1), а \( q \) — делители ведущего коэффициента (2). Это значит, что возможные корни: \( \pm 1 \) и \( \pm \frac{1}{2} \).

2. Проверка возможных корней: Начнем с подстановки \( x = 1 \): \[ 2(1)^3 - (1)^2 - 2(1) + 1 = 2 - 1 - 2 + 1 = 0 \] Значит, \( x = 1 \) является корнем.

3. Деление многочлена: Теперь разделим многочлен \( 2x^3 - x^2 - 2x + 1 \) на \( x - 1 \) с помощью деления многочленов (можно использовать схематическое деление):

   После деления мы получаем: \[ 2x^2 + x - 1 \]

4. Решение квадратного уравнения: Теперь решим уравнение \( 2x^2 + x - 1 = 0 \) с использованием формулы корней квадратного уравнения \( x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \): \[ a = 2, \, b = 1, \, c = -1 \] Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] Теперь подставляем значения в формулу: \[ x = \frac{{-1 \pm \sqrt{9}}}{2 \cdot 2} = \frac{{-1 \pm 3}}{4} \] Это дает два корня: \[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \]

5. Итоговые корни: Таким образом, уравнение \( 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0 \) имеет три корня: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{2}, \quad x_3 = -1 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам математики, я с удовольствием помогу!