"Какая грамматическая основа: я сплю очень чутко, и свист будет меня грамматическая "

Грамматическая основа предложения: "я сплю очень чутко". В данной конструкции надо обратить внимание на глагол "сплю", который является глаголом настоящего времени от глагола "спать".