Построение графиков б) y = (x^3 – 1) / (x – 1)
Построение графика функции \( y = \frac{x^3 - 1}{x - 1} \) можно выполнить через несколько шагов. Давайте рассмотрим их подробно.
Определение области определения: Заметим, что дробь имеет разрыв в точке \( x = 1 \), так как при \( x = 1 \) знаменатель становится равным нулю. Следовательно, область определения функции - все реальные числа, кроме \( x = 1 \).
Упрощение функции: Мы можем упростить функцию. Для этого воспользуемся делением многочленов. Фактор \( x^3 - 1 \) можно разложить по формуле разности кубов:
\[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \]
Подставляя это в нашу функцию, получаем:
\[ y = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} \]
При \( x \neq 1 \) мы можем сократить \( (x - 1) \):
\[ y = x^2 + x + 1 \]
Это означает, что функция \( y \) равна \( x^2 + x + 1 \) для всех \( x \), кроме \( x = 1 \).
Построение графика: Теперь у нас есть простая функция \( y = x^2 + x + 1 \), которую легко изобразить. Это парабола, открытая вверх. Мы можем найти её вершину, используя формулу для координаты вершин параболы \( x = -\frac{b}{2a} \):
Здесь \( a = 1 \) и \( b = 1 \), значит:
\[ x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \]
Подставив это значение в функцию, находим координату \( y \):
\[ y\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) \).
Дополнительные характеристики: Парабола не имеет пересечений с осью \( x \) (так как дискриминант \( b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0 \)), и всегда положительна, так что \( y > 0 \) для всех \( x \).
Отметим разрыв: Не забудьте указать, что в точке \( x = 1 \) функция не определена, поэтому необходимо сделать открытую точку на графике в этой позиции.
Теперь вы имеете все необходимые данные, чтобы построить график функции! если у вас возникнут дополнительные вопросы по этому материалу, не стесняйтесь задавать их.
