Дан произвольный четырехугольник MNPQ. Докажите, что вектор MN плюс вектор NQ равен вектор MP плюс PQ

Рассмотрим произвольный четырехугольник \( MNPQ \). Нам нужно доказать, что вектор \( \vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MP} + \vec{PQ} \).

Для этого воспользуемся свойствами векторов и координатной системой. Обозначим координаты точек следующим образом:

• Пусть координаты точки \( M \) равны \( (x_m, y_m) \)
• Пусть координаты точки \( N \) равны \( (x_n, y_n) \)
• Пусть координаты точки \( P \) равны \( (x_p, y_p) \)
• Пусть координаты точки \( Q \) равны \( (x_q, y_q) \)

Теперь выразим каждый из векторов через координаты:

1. Вектор \( \vec{MN} \) можно записать как: \[ \vec{MN} = (x_n - x_m, y_n - y_m) \]

2. Вектор \( \vec{NQ} \) записывается как: \[ \vec{NQ} = (x_q - x_n, y_q - y_n) \]

Теперь сложим эти два вектора: \[ \vec{MN} + \vec{NQ} = (x_n - x_m + x_q - x_n, y_n - y_m + y_q - y_n) = (x_q - x_m, y_q - y_m) \]

Теперь рассмотрим векторы \( \vec{MP} \) и \( \vec{PQ} \):

3. Вектор \( \vec{MP} \) равен: \[ \vec{MP} = (x_p - x_m, y_p - y_m) \]

4. Вектор \( \vec{PQ} \) равен: \[ \vec{PQ} = (x_q - x_p, y_q - y_p) \]

Сложим эти два вектора: \[ \vec{MP} + \vec{PQ} = (x_p - x_m + x_q - x_p, y_p - y_m + y_q - y_p) = (x_q - x_m, y_q - y_m) \]

Таким образом, мы получаем: \[ \vec{MN} + \vec{NQ} = (x_q - x_m, y_q - y_m) = \vec{MP} + \vec{PQ} \]

Следовательно, мы доказали, что вектор \( \vec{MN} + \vec{NQ} = \vec{MP} + \vec{PQ} \).