2x ^ 2 + 5|x| - 3 > 0 решить неравенство
Для решения неравенства \( 2x^2 + 5|x| - 3 > 0 \) сначала учтем, что модуль \( |x| \) влияет на знак выражения. Мы рассмотрим два случая: когда \( x \geq 0 \) и когда \( x < 0 \).
- Случай 1: \( x \geq 0 \)
В этом случае \( |x| = x \). Неравенство становится:
\[ 2x^2 + 5x - 3 > 0 \]
Теперь найдем корни уравнения \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]
Корни уравнения будут:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{4} = -3 \]
Так как мы рассматриваем только \( x \geq 0 \), нас интересует корень \( x_1 = \frac{1}{2} \).
Для определения знаков многочлена \( 2x^2 + 5x - 3 \) на интервалах \( (-\infty, -3) \), \( (-3, \frac{1}{2}) \), \( (\frac{1}{2}, +\infty) \):
- На интервале \( (-3, \frac{1}{2}) \) (выбираем, например, \( x = 0 \)): \( 2(0)^2 + 5(0) - 3 = -3 < 0 \)
- На интервале \( (\frac{1}{2}, +\infty) \) (выбираем, например, \( x = 1 \)): \( 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 4 > 0 \)
Таким образом, для \( x \geq 0 \) неравенство выполняется при \( x > \frac{1}{2} \).
- Случай 2: \( x < 0 \)
В данном случае \( |x| = -x \). Неравенство становится:
\[ 2x^2 - 5x - 3 > 0 \]
Аналогично, находим корни уравнения \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \):
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2} \]
Так как мы рассматриваем только \( x < 0 \), нас интересует корень \( x_2 = -\frac{1}{2} \).
Теперь определим знаки на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и \( (-\frac{1}{2}, 3) \):
- На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) (выбираем, например, \( x = -1 \)): \( 2(-1)^2 - 5(-1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 > 0 \)
- На интервале \( (-\frac{1}{2}, 3) \) (выбираем, например, \( x = -\frac{1}{4} \)): \( 2(-\frac{1}{4})^2 - 5(-\frac{1}{4}) - 3 = \frac{1}{8} + \frac{5}{4} - 3 < 0 \)
Таким образом, для \( x < 0 \) неравенство выполняется при \( x < -\frac{1}{2} \).
Теперь объединяем оба случая:
\[ x > \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x < -\frac{1}{2} \]
Итак, окончательный ответ:
\[ x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \]
