Диагонали параллелограма ABCD пересекаются в точке O. Точка M делит сторону BC в отношении 1:3, считая от вершины B, OC=a, OB=b. Выразите вектор MD через векторы a и b.

Чтобы выразить вектор \( \vec{MD} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), давайте сначала определим необходимые элементы и их взаимосвязи.

1. Определим точки:

   • Пусть вектор \( \vec{O} \) — это точка пересечения диагоналей, то есть \( \vec{O} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{C}) \) для диагоналей \( AC \) и \( BD \).
   • Вектор \( \vec{M} \) делит сторону \( BC \) в отношении \( 1:3 \). То есть, можно выразить \( \vec{M} \) как: \[ \vec{M} = \frac{3\vec{B} + 1\vec{C}}{4} \] Учитывая вектор \( \vec{C} \), который можно выразить через \( \vec{O} \) и \( \vec{A} \): \[ \vec{C} = 2\vec{O} - \vec{A} \]

2. Связь с векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

   • У нас есть \( \vec{OC} = \vec{a} \) и \( \vec{OB} = \vec{b} \). Поэтому: \[ \vec{C} = \vec{O} + \vec{a} \quad \text{и} \quad \vec{B} = \vec{O} - \vec{b} \]

3. Заменим \( \vec{B} \) и \( \vec{C} \) в уравнении для \( \vec{M} \): Подставим значения: \[ \vec{M} = \frac{3(\vec{O} - \vec{b}) + (\vec{O} + \vec{a})}{4} = \frac{3\vec{O} - 3\vec{b} + \vec{O} + \vec{a}}{4} \] Упрощаем: \[ \vec{M} = \frac{4\vec{O} - 3\vec{b} + \vec{a}}{4} = \vec{O} - \frac{3\vec{b}}{4} + \frac{\vec{a}}{4} \]

4. Теперь выразим \( \vec{D} \): Так как \( D \) и \( B \) являются концами противоположной стороны параллелограмма, имеем: \[ \vec{D} = \vec{O} + \vec{a} - \vec{b} \]

5. Теперь посчитаем вектор \( \vec{MD} \): Вектор \( \vec{MD} \) можно выразить как разность \( \vec{D} - \vec{M} \): \[ \vec{MD} = \left( \vec{O} + \vec{a} - \vec{b} \right) - \left( \vec{O} - \frac{3\vec{b}}{4} + \frac{\vec{a}}{4} \right) \] Раскрываем скобки: \[ \vec{MD} = \vec{O} + \vec{a} - \vec{b} - \vec{O} + \frac{3\vec{b}}{4} - \frac{\vec{a}}{4} \] Упрощаем: \[ \vec{MD} = \vec{a} - \frac{\vec{a}}{4} - \vec{b} + \frac{3\vec{b}}{4} \] Это можно записать как: \[ \vec{MD} = \frac{3\vec{a}}{4} - \frac{1}{4}\vec{b} \]

Таким образом, вектор \( \vec{MD} \) можно выразить через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) следующим образом: \[ \vec{MD} = \frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b} \]