Банки «Универсальный» и «Современный» предлагают своим клиснтам открыть вклад сроком на три года без возможности снятия процентов на весь период вклада. В банке «Универсальный» установлена ежегодная ставка 10 % годовых. Банк «Современный» предлагает ставку 9 % годовых в первый год и п% во второй и третий годы вложения денежных средств. При каком наименьшем целом п вклад в банке «Современный» будет выгоднее вклада в банке «Универсальный» при одинаковой сумме первоначального взноса?

Для того чтобы выяснить, при каком наименьшем целом значении \( p \) вклад в банке «Современный» станет выгоднее вклада в банке «Универсальный», рассмотрим условия вкладов.

1. Вклад в банке «Универсальный»:

   • Ставка: 10% годовых.
   • Сумма через 3 года: \[ S_U = P \times (1 + 0.10)^3 = P \times 1.331 \] Здесь \( P \) — это первоначальная сумма вклада.

2. Вклад в банке «Современный»:

   • Ставки: 9% в первый год, \( p \)% во второй и третий годы.
   • Сумма через 3 года: \[ S_S = P \times (1 + 0.09) \times (1 + \frac{p}{100}) \times (1 + \frac{p}{100}) = P \times 1.09 \times (1 + \frac{p}{100})^2 \]

Чтобы вклад в банке «Современный» стал выгоднее, необходимо: \[ S_S > S_U \] Подставим наши выражения: \[ P \times 1.09 \times (1 + \frac{p}{100})^2 > P \times 1.331 \] Можно сократить на \( P \) (предполагается, что \( P > 0 \)): \[ 1.09 \times (1 + \frac{p}{100})^2 > 1.331 \]

Теперь поделим обе стороны на 1.09: \[ (1 + \frac{p}{100})^2 > \frac{1.331}{1.09} \approx 1.22 \]

Теперь найдем значение под корнем: \[ 1 + \frac{p}{100} > \sqrt{1.22} \approx 1.104 \] Преобразуем неравенство: \[ \frac{p}{100} > 1.104 - 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{p}{100} > 0.104 \] Умножим обе стороны на 100: \[ p > 10.4 \]

Поскольку \( p \) должно быть целым числом, минимальное целое значение для \( p \) равно 11.

Таким образом, вклад в банке «Современный» будет выгоднее вклада в банке «Универсальный», если ставка \( p \) будет равна 11% или выше.