Дана правильная пирамида MABCD. AD=AM=2. В грани пирамиды DMC проведена высота DE. Необходимо нацти угол (DE, BM)

Для решения задачи о правильной пирамиде MABCD, где AD = AM = 2, и высоте DE, проведенной в грани DMC, необходимо определить угол между прямыми DE и BM.

1. Определяем основные элементы пирамиды:

   • В правильной пирамиде основание является правильным многоугольником. В данном случае основание ABCD является квадратом, поскольку AD = AM = 2.
   • Точка M – это вершина пирамиды, расположенная над центром основания.

2. Нахождение координат точек:

   • Пусть A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0), D (0, 2, 0), и M (1, 1, h), где h - высота пирамиды, которую мы будем находить позже.
   • Чтобы найти h, нужно учитывать, что AD = AM = 2. Расстояние AM можно выразить через высоту: \[ AM = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (h - 0)^2} = 2. \] Это уравнение можно решить: \[ \sqrt{1 + 1 + h^2} = 2 \implies \sqrt{2 + h^2} = 2 \implies 2 + h^2 = 4 \implies h^2 = 2 \implies h = \sqrt{2}. \] Таким образом, M(1, 1, √2).

3. Определение высоты DE:

   • Точка E – это проекция точки M на поверхность грани DMC. Чтобы найти E, необходимо определить уравнение плоскости DMC. Для этого найдем векторы DM и DC: \[ DM = (1 - 0, 1 - 2, \sqrt{2} - 0) = (1, -1, \sqrt{2}), \] \[ DC = (2 - 0, 2 - 2, 0 - 0) = (2, 0, 0). \] Определим нормальный вектор плоскости DMC как произведение векторов DM и DC. Произведение векторов DM и DC: \[ DM \times DC = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & \sqrt{2} \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - 2\sqrt{2}) + \hat{k}(0 - (-2)) = (0, -2\sqrt{2}, 2). \]

4. Уравнение плоскости DMC: Используя точку D(0, 2, 0) и нормальный вектор (0, -2√2, 2), уравнение плоскости будет выглядеть так: \[ 0(x - 0) - 2\sqrt{2}(y - 2) + 2(z - 0) = 0 \implies -2\sqrt{2}y + 2z + 4\sqrt{2} = 0 \implies z = \sqrt{2}y - 2\sqrt{2}. \]

5. Находим координаты точки E: Подставив в уравнение M(1, 1, √2): \[ z = \sqrt{2}(1) - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2}. \] Таким образом, E(1, 1, -√2).

6. Определяем угол (DE, BM): Вектор DE будет равен (1, 1, -√2) - (0, 2, 0) = (1, -1, -√2). Вектор BM равен (1, 1, √2) - (2, 0, 0) = (-1, 1, √2). Для нахождения угла между этими векторами используем скалярное произведение: \[ DE \cdot BM = 1*(-1) + (-1)*1 + (-\sqrt{2})*\sqrt{2} = -1 - 1 - 2 = -4. \] Длину векторов нашли: \[ |DE| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2, \] \[ |BM| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2. \] Используя формулу косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{DE \cdot BM}{|DE| \cdot |BM|} = \frac{-4}{2 \cdot 2} = -1. \] Угол θ равен 180°.

Таким образом, угол между прямыми DE и BM составляет 180°.