Решить уравнение -5+|x+1|=x+3

Чтобы решить уравнение \(-5 + |x + 1| = x + 3\), давайте начнем с преобразования его в более удобный вид, добавив 5 к обеим сторонам:

\[ |x + 1| = x + 8 \]

Теперь у нас есть два случая, которые нужно рассмотреть для модуля \( |x + 1| \):

Случай 1: \(x + 1 \geq 0\) (то есть \(x \geq -1\))

В этом случае модуль можно убрать, и уравнение становится:

\[ x + 1 = x + 8 \]

Упрощая уравнение, мы видим, что:

\[ 1 = 8 \]

Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: \(x + 1 < 0\) (то есть \(x < -1\))

Здесь модуль также нужно убрать, но с изменением знака:

\[ -(x + 1) = x + 8 \]

Это приводит к следующему уравнению:

\[ -x - 1 = x + 8 \]

Соберем все \(x\) в одну сторону:

\[ -x - x = 8 + 1 \]

\[ -2x = 9 \]

Теперь делим на -2:

\[ x = -\frac{9}{2} \]

Проверьте, выполняется ли условие \(x < -1\):

\(-\frac{9}{2} = -4.5 < -1\), что верно.

Теперь проверим, подходит ли найденное значение к исходному уравнению:

Подставим \(x = -\frac{9}{2}\) в модуль:

\[ |-\frac{9}{2} + 1| = |-\frac{7}{2}| = \frac{7}{2} \]

Подставим в правую часть уравнения:

\[ -\frac{9}{2} + 3 = -\frac{9}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{3}{2} \]

Сравним обе стороны:

\(-5 + \frac{7}{2} = -\frac{10}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{3}{2}\), что подтверждает равенство.

Таким образом, единственное решение уравнения:

\[ x = -\frac{9}{2} \]