Дан треугольник АВС. Пусть К и Т - середины сторон АВ и ВС соответственно. 단 Выразите вектор АС через векторы АТ и СК. Укажите значения коэффициентов х и у в разложении АС = x • АТ + у • СК. Значение х равно? значение y равно?

Для решения задачи используем свойства средних линий в треугольнике и векторы.

Обозначим:

• \( \vec{A} \) как вектор, представляющий точку \( A \);
• \( \vec{B} \) как вектор, представляющий точку \( B \);
• \( \vec{C} \) как вектор, представляющий точку \( C \);
• \( \vec{K} \) как вектор, представляющий середину стороны \( AB \);
• \( \vec{T} \) как вектор, представляющий середину стороны \( BC \).

Поскольку \( K \) и \( T \) - середины сторон, можно записать следующее:

\[ \vec{K} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \]

\[ \vec{T} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \]

Вектор \( \vec{AC} \) можно выразить как:

\[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \]

Теперь найдем векторы \( \vec{AT} \) и \( \vec{SK} \):

1. Вектор \( \vec{AT} \): \[ \vec{AT} = \vec{T} - \vec{A} = \left( \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} \right) - \vec{A} = \frac{\vec{B} + \vec{C} - 2\vec{A}}{2} \]

2. Вектор \( \vec{SK} \): \[ \vec{SK} = \vec{K} - \vec{C} = \left( \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \right) - \vec{C} = \frac{\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{C}}{2} \]

Теперь выразим вектор \( \vec{AC} \) через векторы \( \vec{AT} \) и \( \vec{SK} \). Мы можем записать \( \vec{AC} \) в виде линейной комбинации:

\[ \vec{AC} = x \vec{AT} + y \vec{SK} \]

Подставляя выражения для \( \vec{AT} \) и \( \vec{SK} \) в данное уравнение, получаем:

\[ \vec{C} - \vec{A} = x \left(\frac{\vec{B} + \vec{C} - 2\vec{A}}{2}\right) + y \left(\frac{\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{C}}{2}\right) \]

Произведем преобразования:

1. Умножим обе стороны на 2:

\[ 2(\vec{C} - \vec{A}) = x(\vec{B} + \vec{C} - 2\vec{A}) + y(\vec{A} + \vec{B} - 2\vec{C}) \]

2. Раскроем скобки:

\[ 2\vec{C} - 2\vec{A} = x\vec{B} + x\vec{C} - 2x\vec{A} + y\vec{A} + y\vec{B} - 2y\vec{C} \]

3. Группируем векторы по единицам:

\[ (2x - 2)\vec{A} + (x + y)\vec{B} + (2 - 2y)\vec{C} = 0 \]

Это дает систему уравнений по коэффициентам перед \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) и \(\vec{C}\):

1. \( 2 - 2x = 0 \)
2. \( x + y = 0 \)
3. \( 2 - 2y = 0 \)

Решая первые и третьи уравнения, получаем:

1. \( x = 1 \)
2. \( y = -1 \)

Таким образом, мы получили значения:

• Значение \( x = 1 \).
• Значение \( y = -1 \).

Итак, ответ на ваш вопрос:

• Значение \( x \) равно \( 1 \).
• Значение \( y \) равно \( -1 \).