Хорда окружности x^2 + y^2 =1 лежит на прямой 4y+3x-4=0. найдите длину хорды

Для нахождения длины хорды окружности, заданной уравнением \(x^2 + y^2 = 1\), которая лежит на прямой \(4y + 3x - 4 = 0\), следуем следующим шагам:

1. Найдем точки пересечения прямой и окружности.

   Уравнение прямой можно выразить через \(y\): \[ 4y = -3x + 4 \implies y = -\frac{3}{4}x + 1 \]

   Подставим это уравнение в уравнение окружности: \[ x^2 + \left(-\frac{3}{4}x + 1\right)^2 = 1 \]

   Раскроем скобки: \[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 - \frac{3}{2}x + 1\right) = 1 \]

   Приведем подобные: \[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 - 1 = 0 \] \[ \left(1 + \frac{9}{16}\right)x^2 - \frac{3}{2}x = 0 \] \[ \frac{25}{16}x^2 - \frac{3}{2}x = 0 \]

   Выделим \(x\): \[ x\left(\frac{25}{16}x - \frac{3}{2}\right) = 0 \]

   Это уравнение имеет два решения: \(x = 0\) или \(\frac{25}{16}x - \frac{3}{2} = 0\): \[ \frac{25}{16}x = \frac{3}{2} \implies x = \frac{3/2 \cdot 16}{25} = \frac{24}{25} \]

   Теперь найдем соответствующие значения \(y\):

   • Для \(x = 0\): \[ y = 1 \]

   • Для \(x = \frac{24}{25}\): \[ y = -\frac{3}{4}\cdot\frac{24}{25} + 1 = -\frac{72}{100} + 1 = \frac{28}{100} = \frac{7}{25} \]

   Таким образом, точки пересечения прямой и окружности — это \( (0, 1) \) и \(\left(\frac{24}{25}, \frac{7}{25}\right)\).

2. Найдём длину хорды.

   Длина хорды вычисляется по формуле: \[ L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставляя наши найденные точки: \[ L = \sqrt{\left(\frac{24}{25} - 0\right)^2 + \left(\frac{7}{25} - 1\right)^2} \] Упростим: \[ L = \sqrt{\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{7}{25} - \frac{25}{25}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(-\frac{18}{25}\right)^2} \] \[ L = \sqrt{\frac{576}{625} + \frac{324}{625}} = \sqrt{\frac{900}{625}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} \]

Итак, длина хорды равна \(\frac{6}{5}\) единиц.