Log 2x+2 (2x²-8x+6) = 2

Чтобы решить уравнение \(\log_2(2x^2 - 8x + 6) = 2\), начнем с преобразования логарифма в экспоненциальную форму.

1. Преобразуем логарифм: \[ 2x^2 - 8x + 6 = 2^2. \] Это упрощается до: \[ 2x^2 - 8x + 6 = 4. \]

2. Переносим 4 на левую сторону уравнения: \[ 2x^2 - 8x + 6 - 4 = 0, \] что упрощается до: \[ 2x^2 - 8x + 2 = 0. \]

3. Теперь упростим уравнение, деля его на 2: \[ x^2 - 4x + 1 = 0. \]

4. Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = -4\), и \(c = 1\).

Подставляем значения: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}. \]

5. Таким образом, у нас есть два корня: \[ x_1 = 2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 2 - \sqrt{3}. \]

6. Необходимо проверить, чтобы значения \(2x^2 - 8x + 6\) были положительными, так как логарифм определен только для положительных аргументов.

Проверим:

• Для \(x_1 = 2 + \sqrt{3}\): \[ 2(2 + \sqrt{3})^2 - 8(2 + \sqrt{3}) + 6 > 0. \] Это дает положительный результат.

• Для \(x_2 = 2 - \sqrt{3}\): \[ 2(2 - \sqrt{3})^2 - 8(2 - \sqrt{3}) + 6 > 0. \] Это также дает положительный результат.

Окончательный ответ: \[ x = 2 + \sqrt{3}, \quad x = 2 - \sqrt{3}. \]