Решите уравнение 1/x+1 + 1/x+3 = 1/x+28 +1/x

Для решения уравнения

\[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{x+28} + \frac{1}{x}, \]

начнем с того, чтобы найти общий знаменатель для левой и правой сторон.

1. Находим общий знаменатель:

Для левой части: общий знаменатель это \((x+1)(x+3)\).

Для правой части: общий знаменатель это \((x+28)x\).

2. Приводим каждую часть к общему знаменателю.

Левая сторона:

\[ \frac{(x+3) + (x+1)}{(x+1)(x+3)} = \frac{2x + 4}{(x+1)(x+3)}. \]

Правая сторона:

\[ \frac{(x)(1) + (x+28)(1)}{(x+28)(x)} = \frac{x + x + 28}{(x+28)(x)} = \frac{2x + 28}{(x+28)(x)}. \]

Таким образом, уравнение приобретает вид:

\[ \frac{2x + 4}{(x+1)(x+3)} = \frac{2x + 28}{(x+28)(x)}. \]

3. Перекрестное умножение:

Теперь можем перемножить обе стороны уравнения:

\[ (2x + 4)(x)(x + 28) = (2x + 28)(x + 1)(x + 3). \]

4. Раскроем скобки и упростим уравнение.

Для левой части:

\[ 2x^2(x + 28) + 4x(x + 28) = 2x^3 + 56x^2 + 4x^2 + 112x = 2x^3 + 60x^2 + 112x. \]

Для правой части:

\[ (2x + 28)((x + 1)(x + 3)) = (2x + 28)(x^2 + 4x + 3) = 2x^3 + 8x^2 + 6x + 28x^2 + 112x + 84 = 2x^3 + 36x^2 + 118x + 84. \]

5. Приравниваем и упрощаем:

Теперь у нас есть:

\[ 2x^3 + 60x^2 + 112x = 2x^3 + 36x^2 + 118x + 84. \]

Отнимем \(2x^3\) от обеих сторон:

\[ 60x^2 + 112x = 36x^2 + 118x + 84. \]

Теперь перенесем всё в одну сторону:

\[ 60x^2 - 36x^2 + 112x - 118x - 84 = 0. \]

Упрощаем:

\[ 24x^2 - 6x - 84 = 0. \]

6. Делим на 6 для упрощения:

\[ 4x^2 - x - 14 = 0. \]

7. Применим формулу квадратного уравнения:

Формула для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

Здесь \(a = 4\), \(b = -1\), \(c = -14\).

Вычислим дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4(4)(-14) = 1 + 224 = 225. \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{8} = \frac{1 \pm 15}{8}. \]

Это даёт нам два корня:

\[ x_1 = \frac{16}{8} = 2, \quad x_2 = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}. \]

Ответ:

Таким образом, решения уравнения:

\[ x = 2 \quad и \quad x = -\frac{7}{4}. \]