Корень 5x + 11 без корня > x + 3
Для решения неравенства \( \sqrt{5x + 11} > x + 3 \) начнем с того, что выразим корень:
- Прежде всего, возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня. Однако помните, что при возведении в квадрат неравенство может изменять свой знак, поэтому мы будем учитывать возможные решения в дальнейшем:
\[ 5x + 11 > (x + 3)^2 \]
- Раскроем квадрат:
\[ 5x + 11 > x^2 + 6x + 9 \]
- Переносим все элементы в одну сторону:
\[ 0 > x^2 + 6x - 5x + 9 - 11 \]
Это упрощается до:
\[ 0 > x^2 + x - 2 \]
Или:
\[ x^2 + x - 2 < 0 \]
- Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
- Находим корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 1 \). Неравенство \( x^2 + x - 2 < 0 \) будет выполняться между этими корнями, то есть на отрезке \( (-2, 1) \).
Проверим, при каких значениях \( x \) выполняется условие \( \sqrt{5x + 11} \) (должно быть неотрицательным):
\[ 5x + 11 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{11}{5} \approx -2.2 \]
Таким образом, объединяя оба условия, получаем:
\[ -\frac{11}{5} \leq x < 1 \]
Итого, решение неравенства:
\[ x \in \left[-\frac{11}{5}, 1\right) \]
Это значит, что значения \( x \) в этом диапазоне удовлетворяют изначальному неравенству \( \sqrt{5x + 11} > x + 3 \).
