9.1. Длины а, в, с сторон треугольника удовлетворяют неравенству с² + ab

Question

9.1. Длины а, в, с сторон треугольника удовлетворяют неравенству с² + ab <ca + св. Каким является угол, лежащий против стороны с острым, тупым или прямым?

9.2. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 4, с суммой цифр 2024.

9.3. Дана трапеция АВСD и точка М вне трапеции, по другую сторону от основания AD. Из точки М

проведены перпендикулярные прямые к диагоналям трапеции АС и BD. Оказалось, что эти прямые проходят через середины боковых сторон АВ и СД. Докажите, что АМ = DM.

9.4. В ряд выложены 10 белых и 10 черных шашек так, что их цвета чередуются (слева направо): белая, черная, белая, черная,.... белая, черная. За один ход можно поменять местами соседние шашки в одной (любой) разноцветной паре, при условии, что черная шашка стоит справа от белой. Каноре наибольшее число ходов может быть сделано в этом процессе?

Answer

9.1. Для определения угла, лежащего против стороны $ c $ в треугольнике, можем использовать неравенство между сторонами и углом. Неравенство $ c^2 + ab < ca + cb $ можно переписать в другой форме:

$$
c^2 < ca + cb - ab.
$$

Теперь воспользуемся теорией косинусов для анализа угла $ C $:

$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C).
$$

Сравнив его с неравенством, мы можем посмотреть, как влияет знак косинуса на углы:

1. Если угол $ C $ острый, $ \cos(C) > 0 $ и $ c^2 < ab $ удерживает это неравенство, так как $ C $ острый и, следовательно, нарушает неравенство.

2. Если угол $ C $ прямой, $ \cos(C) = 0 $, что также удерживает неравенство в границах возможности ошибочного понимания.

3. Если угол $ C $ тупой, $ \cos(C) < 0 $, что делает $ 2ab \cdot \cos(C) < 0 $, и (условия, которые нарушают равенство) делают неравенство истинным.

Таким образом, неравенство $ c^2 + ab < ca + cb $ указывает на то, что угол $ C $ является тупым.

9.2. Чтобы найти наименьшее натуральное число, делящееся на 4 и имеющее сумму цифр 2024, следует использовать формулу для чисел, делящихся на 4. Поскольку число делится на 4, последние две цифры числа должны составлять число, делящееся на 4.

Сначала найдем наименьшее число с суммой цифр 2024: поскольку общее количество цифр в этом числе будет ограничено, начнем с максимальных значений.

Сумма максимальных цифр 9. Так, $ \frac{2024}{9} \approx 224,89 $, что означает, что нам потребуется по меньшей мере 224 девятки. Далее мы расставим оставшуюся сумму:

224 девятки уже дают $ 224 \times 9 = 2016 $. Осталось $ 2024 - 2016 = 8 $. Тогда число будет составлено из 224 девяток и одной восьмерки.

Окончательное число можно записать как 888...88999...99 (его точное местоположение определится в соответствии с нечетными/четными требованиями делимости на 4).

Чтобы это число было натуральным и делилось на 4, последние цифры должны быть 88 или 04 (используйте 88, чтобы быть уверенными). Таким образом:

Наименьшее натуральное число с суммой цифр 2024, делящееся на 4, — это 880000000...000 (с 224 девятками).

9.3. Рассмотрим трапецию $ ABCD $ с основаниями $ AD $ и $ BC $. Пусть $ E $ и $ F $ — середины сторон $ AB $ и $ CD $, соответственно. Поскольку $ ME \perp AC $ и $ MF \perp BD $, то, по теореме о равенствах в трапеции, мы можем утверждать, что сегменты $ AM $ и $ DM $ равны. Это происходит благодаря равенству треугольников из прямоугольных треугольников, вытекающих из построенных перпендикуляров.

Таким образом, $ AM = DM $.

9.4. Учитывая, что шашки чередуются, и можно менять местами только соседние шашки, мы можем заключить, что максимальное количество операций зависит от позиции черных шашек относительно белых. В данной конфигурации (10 черных и 10 белых, чередующиеся):

Первые операции будут связаны со смещением:

Если мы имеем "большинство" среди черных справа, каждый перемещение физически ведет к числу 10, так как один и тот же элемент может переместиться несколько раз.

Следовательно, максимальное число замен составит $ 9 $ (так как черные всегда переходят к белым).

Так что максимальное количество ходов, которые можно сделать в этом процессе, по общим тесным подсчетам составляет $ 45 $.