При каком наименьшем k на числовой прямой можно отметить k точек таким образом, чтобы для каждого натурального числа n от 1 до 100 нашлись две отмеченные точки, расстояние между которыми равно 2n?

Для решения этой задачи рассмотрим наименьшее значение \( k \), при котором можно отметить \( k \) точек на числовой прямой так, чтобы для каждого натурального числа \( n \) от 1 до 100 нашлись две отмеченные точки, расстояние между которыми равно \( 2n \).

Значит, нам нужно, чтобы для каждого \( n \) существовали точки \( x_i \) и \( x_j \) такие, что:

\[ |x_i - x_j| = 2n, \]

где \( n \) принимает значения от 1 до 100. Это означает, что мы должны иметь возможность создать расстояния от 2 до 200, так как при \( n = 1 \) расстояние будет 2, а при \( n = 100 \) — 200.

Одним из способов организовать точки на числовой прямой является размещение их по равномерному принципу. Рассмотрим точки, расположенные на четных числах:

\[ 0, 2, 4, 6, \dots, 200. \]

Каждая пара четных чисел \( 2i \) и \( 2j \) (где \( i \) и \( j \) — натуральные числа) будет иметь расстояние:

\[ |2i - 2j| = 2|i - j|, \]

что позволяет нам получать любое четное число от 2 до 200.

Количество четных чисел от 0 до 200 включительно можно найти по формуле:

\[ \frac{200 - 0}{2} + 1 = 101. \]

Таким образом, для обеспечения расстояний от 2 до 200 у нас будет 101 точка.

Однако, если мы отметим точки, например, через 1 (то есть \( 0, 1, 2, \ldots, 200 \)), у нас также получится достаточно много вариантов расстояний между точками. Но точки можно было бы оптимизировать, если рассмотреть, например, точки в четном распределении.

Таким образом, краткий ответ на ваш вопрос: наименьшее значение \( k \), при котором можно отметить точки, равно 101, если использовать равномерное размещение на числовой прямой.