Найти пределы справа и слева функции f(x) =arctg 1/x при x=0

Чтобы найти пределы функции \( f(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \) при \( x = 0 \), необходимо рассмотреть пределы справа и слева этой точки.

1. Предел справа (\( x \to 0^+ \)):

Когда \( x \) стремится к 0 с положительной стороны (\( x \to 0^+ \)), дробь \( \frac{1}{x} \) стремится к бесконечности. Таким образом, мы можем записать:

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \arctan(+\infty) \]

Функция арктангенс стремится к \(\frac{\pi}{2}\) при \( x \to +\infty \). Значит:

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{\pi}{2} \]

2. Предел слева (\( x \to 0^- \)):

Когда \( x \) стремится к 0 с отрицательной стороны (\( x \to 0^- \)), дробь \( \frac{1}{x} \) стремится к минус бесконечности. Таким образом, запишем:

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \arctan(-\infty) \]

В этом случае функция арктангенс стремится к \(-\frac{\pi}{2}\) при \( x \to -\infty \). Следовательно:

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\frac{\pi}{2} \]

Теперь подведем итоги:

• Предел справа: \( \frac{\pi}{2} \)
• Предел слева: \( -\frac{\pi}{2} \)

Таким образом, пределы функции \( f(x) \) при \( x = 0 \) различаются, поэтому функция \( f(x) \) не имеет предела в точке \( x = 0 \).