В традиционном якутском спортивном соревновании по перетягиванию каната было сыграно 130 поединков. Все спортсмены провели по одному поединку друг против друга, но двое из них выбыли из соревнований после 5 поединков каждый. Сколько спортсменов изначально принимало участие в соревнованиях?
В данной задаче нужно определить количество спортсменов, участвовавших в соревнованиях по перетягиванию каната. Известно, что всего было сыграно 130 поединков, а двое спортсменов выбыли после 5 поединков каждый.
Давайте обозначим общее количество спортсменов как \( n \). В каждом поединке участвуют два спортсмена, и если бы ни один из них не выбывал, то общее количество поединков можно было бы вычислить по формуле для числа сочетаний:
\[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \]
Поскольку двое спортсменов выбыли после 5 поединков каждый, они не могли участвовать во всем количестве поединков. То есть, они сыграли всего 5 поединков, а остальные спортсмены поспорили за оставшиеся \( 130 - 10 = 120 \) поединков (где 10 – это 5 поединков каждого из двух выбытия).
Тогда общее количество поединков с оставшимися спортсменами можно выразить следующим образом:
\[ C(n-2, 2) + 10 = 130 \]
Где \( C(n-2, 2) = \frac{(n-2)(n-3)}{2} \) – это количество поединков, проведенных оставшимися спортсменами.
Подставив в уравнение, получим:
\[ \frac{(n-2)(n-3)}{2} + 10 = 130 \]
Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ (n-2)(n-3) + 20 = 260 \]
Теперь упростим уравнение:
\[ (n-2)(n-3) = 240 \]
Распределим выражение:
\[ n^2 - 5n + 6 = 240 \]
Переносим 240 в левую часть:
\[ n^2 - 5n - 234 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискримината:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-234) = 25 + 936 = 961 \]
Теперь находим корни уравнения по формуле:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 31}{2} \]
Это дает два решения:
- \( n = \frac{36}{2} = 18 \)
- \( n = \frac{-26}{2} = -13 \) (это решение не имеет физического смысла)
Таким образом, общее количество спортсменов, изначально участвовавших в соревнованиях, равно 18.
