В традиционном якутском спортивном соревновании по перетягиванию каната было разыграно 130 схваток. Все спортсмены провели друг против друга только одну схватку, но двое из них…

Пусть \( n \) — количество спортсменов, которые изначально участвовали в соревнованиях. В традиционном соревновании по перетягиванию каната каждый спортсмен проводит одну схватку с каждым из соперников. Таким образом, общее количество схваток, проведённых между \( n \) спортсменами, можно вычислить по формуле для числа сочетаний:

\[ C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2} \]

Однако в данной задаче двое спортсменов выбыло после 5 схваток каждый. Поскольку у нас 130 схваток, это означает, что количество схваток с участием двух выбранных спортсменов включает 10 схваток (5 для каждого из них).

Таким образом, будем называть количество схваток (до выбытия) \( S \):

\[ S = C(n, 2) - 10 \] И когда спортсмены выбрали в этом количестве схваток, общее количество становится:

\[ S + 10 = 130 \]

Это упростит нашу формулу:

\[ C(n, 2) = 130 \]

Теперь подставим выражение для сочетаний:

\[ \frac{n(n-1)}{2} = 130 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ n(n-1) = 260 \]

Это уравнение является квадратным, и его можно привести к стандартному виду:

\[ n^2 - n - 260 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-260) = 1 + 1040 = 1041 \] \[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1041}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1041}}{2} \]

Теперь определим корни уравнения:

\(\sqrt{1041} \approx 32.25\).

Следовательно,

\[ n \approx \frac{1 + 32.25}{2} \approx 16.625 \quad \text{и} \quad n \approx \frac{1 - 32.25}{2} \approx -15.625 \]

Так как количество спортсменов может быть только положительным целым числом, округляем до ближайшего большего целого числа, то \( n = 17 \).

Подставим это значение обратно, чтобы проверить:

\[ C(17, 2) = \frac{17 \times 16}{2} = 136 \]

После двух спортсменов, выбувших после 5 схваток:

\[ 136 - 10 = 126 \quad (которые играли 10 схваток во время соревнования) \]

Следовательно:

\[ 126 + 10 = 136, \]

Которые відповідно подтвержают что 130 схваток, проведённых в результате избытка 10 схваток, дает нам правильный ответ.

Таким образом, изначально в соревнованиях участвовали 17 спортсменов.