Задан прямоугольник ABCD. Прямая a параллельна AD и не лежит в плоскости прямоугольника. а) Докажите, что a || BC (7 баллов). б) Докажите, что прямые a и BD скрещивающиеся (7…
Задан прямоугольник ABCD. Прямая a параллельна AD и не лежит в плоскости прямоугольника. а) Докажите, что a || BC (7 баллов). б) Докажите, что прямые a и BD скрещивающиеся (7 баллов). в) Определите косинус угла между прямыми a и BD, если AB = 18 см, BC = 24 см. Ответ обоснуйте (15 баллов). Задание 2 (30 баллов). Задан прямоугольный параллелепипед MNKLM1N1K1L1. Точка E лежит на ребре KK1, точка G – на ребре NK, точка F – на нижней грани. а) Постройте сечение параллелепипеда по трём заданным точкам E, F, G. Объясните ход построения каждого из отрезков (22 балла). б) Укажите название (вид) полученного многоугольника и заштрихуйте его внутреннюю часть Задание 3 (41 балл). Задан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Из точки S, лежащей вне плоскости ABC, опущен перпендикуляр в точку C. а) Изобразите линейный угол двугранного угла SABC. Поясните, почему именно этот угол является линейным углом двугранного угла б) Найдите SC, если AC = BC = 15 cм, AB = 18 см, величина двугранного угла SABC составляет 30°
Задание 1:
а) Чтобы доказать, что прямая \( a \) параллельна \( BC \), заметим, что \( a \) параллельна \( AD \). Поскольку \( ABCD \) является прямоугольником, стороны \( AD \) и \( BC \) параллельны друг другу. Следовательно, если прямая \( a \) параллельна \( AD \), то она также параллельна \( BC \). Таким образом, мы можем утверждать, что \( a \parallel BC \).
б) Для доказательства того, что прямые \( a \) и \( BD \) скрещивающиеся, нужно показать, что они не пересекаются и не являются параллельными. Прямая \( a \) не лежит в плоскости прямоугольника, в то время как прямая \( BD \) лежит в этой плоскости. Поскольку они находятся в разных плоскостях, и не могут пересекаться, и поскольку \( a \) не параллельна \( BD \), можно сделать вывод, что прямая \( a \) и прямая \( BD \) являются скрещивающимися.
в) Чтобы найти косинус угла между прямыми \( a \) и \( BD \), мы сначала определим угол между ними. Построим сечение треугольника \( ABD \), где \( AB = 18 \) см, и \( BC = 24 \) см.
Для этого найдем длину диагонали \( BD \) по теореме Пифагора:
\[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \text{ см}. \]
Поскольку прямая \( a \) вертикальна, мы можем считать, что угол между прямой \( a \) и горизонтальной проекцией \( BD \) равен 90°. Соответственно, чтобы найти угол между прямыми, используем:
\[ \cos(\theta) = \frac{(AB)}{(BD)} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}. \]
Таким образом, \( \cos \theta = 0.6 \) — это искомый косинус угла между прямыми \( a \) и \( BD \).
Задание 2:
а) Для построения сечения параллелепипеда по точкам \( E \), \( F \) и \( G \):
- Отметьте положение точек \( E \), \( F \) и \( G \) на параллелепипеде.
- Соедините точки \( E \) и \( F \) прямой линией.
- Соедините точки \( F \) и \( G \) прямой линией.
- Соедините точки \( G \) и \( E \) прямой линией.
Следовательно, сечение будет представлять собой треугольник, который соединяет эти три точки.
б) Полученный многоугольник, скорее всего, является треугольником. Его внутреннюю часть можно заштриховать.
Задание 3:
а) Линейный угол двугранного угла \( SABC \) образован плоскостями \( SAB \) и \( SAC \). Чтобы изобразить этот угол, нарисуйте обе плоскости. Линейный угол представляет собой угол, образованный прямой, соединяющей точку \( S \) с точкой \( C \) и плоскостями \( SAB \) и \( SAC \).
б) Для нахождения длины отрезка \( SC \) используем формулу:
\[ SC = AC \cdot \sin(30^\circ) = AC \cdot \frac{1}{2} \text{.} \] Так как \( AC = 15 \) см:
\[ SC = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \text{ см.} \]
Также можем использовать теорему косинусов для треугольника \( ABC \) для описания стороны и угла. Но на данном этапе мы получили длину \( SC \) равную 7.5 см.
