первообразная функции f(x)=-1/(6x+1)²

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = -\frac{1}{(6x+1)^2} \), мы можем использовать метод подстановки.

Сначала заметим, что у нас есть функция в виде дроби, и можно применить метод интегрирования по частям или подстановку. Здесь мы используем подстановку.

Пусть \( u = 6x + 1 \). Тогда производная \( du = 6 \, dx \), или \( dx = \frac{du}{6} \).

Теперь подставим это в наше интегрирование:

\[ \int f(x) \, dx = \int -\frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{6} \]

Это преобразуется в:

\[ = -\frac{1}{6} \int u^{-2} \, du \]

Теперь интегрируем \( u^{-2} \):

\[ \int u^{-2} \, du = -\frac{1}{u} + C \]

Таким образом, подставляя обратно, мы получаем:

\[ -\frac{1}{6} \left( -\frac{1}{u} \right) + C = \frac{1}{6u} + C \]

Теперь возвращаемся к переменной \( x \), подставляя \( u = 6x + 1 \):

\[ = \frac{1}{6(6x + 1)} + C \]

Итак, первообразная функции \( f(x) = -\frac{1}{(6x+1)^2} \) равна:

\[ F(x) = \frac{1}{6(6x + 1)} + C \]

где \( C \) - произвольная константа интегрирования.