(x - 6)(5^x - 6 - 25) <0

Чтобы решить неравенство \((x - 6)(5^x - 6 - 25) < 0\), давайте сначала упростим его.

1. Приведем второй множитель к более удобному виду: \[ 5^x - 6 - 25 = 5^x - 31 \] Таким образом, неравенство можно переписать как: \[ (x - 6)(5^x - 31) < 0 \]

2. Найдем нули каждого множителя:

   • Первый множитель равен нулю, когда \(x - 6 = 0\), т.е. \(x = 6\).
   • Второй множитель равен нулю, когда \(5^x - 31 = 0\). Это означает, что: \[ 5^x = 31 \] Чтобы найти значение \(x\), возьмем логарифм: \[ x = \log_5(31) \] Чтобы выразить это через десятичный логарифм, используем формулу изменения основания: \[ x = \frac{\log_{10}(31)}{\log_{10}(5)} \]

3. Теперь мы определили два критических значения для \(x\): \(x = 6\) и \(x = \log_5(31)\).

4. Определим интервалы для тестирования знаков:

   • Рассмотрим интервалы: \((-∞, \log_5(31))\), \((\log_5(31), 6)\) и \((6, +∞)\).

5. Теперь проверим знак произведения в каждом из интервалов:

   • Для интервала \((-∞, \log_5(31))\): Пусть \(x = 0\): \((0 - 6)(5^0 - 31) = (-6)(1 - 31) = (-6)(-30) > 0\)
   • Для интервала \((\log_5(31), 6)\): Пусть \(x = 5\): \((5 - 6)(5^5 - 31) = (-1)(3125 - 31) = (-1)(3094) < 0\)
   • Для интервала \((6, +∞)\): Пусть \(x = 7\): \((7 - 6)(5^7 - 31) = (1)(78125 - 31) > 0\)

6. Теперь у нас есть знаки для каждого интервала:

   • \((-∞, \log_5(31))\) — положительный
   • \((\log_5(31), 6)\) — отрицательный
   • \((6, +∞)\) — положительный

7. Таким образом, неравенство \((x - 6)(5^x - 31) < 0\) выполняется в интервале \((\log_5(31), 6)\).

8. Итоговый ответ: \[ x \in \left(\log_5(31), 6\right) \]

Если вам нужны дополнительные пояснения или решения других задач, не стесняйтесь спрашивать!