у=х²-6х/х+6 .Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства функции

Чтобы найти нули функции и промежутки знакопостоянства для функции \( y = \frac{x^2 - 6x}{x + 6} \), начнем с поиска нулей функции.

Нули функции

Нули функции находятся там, где \( y = 0 \). Это происходит, когда числитель равен нулю:

\[ x^2 - 6x = 0 \]

Теперь можем вынести общий множитель:

\[ x(x - 6) = 0 \]

Отсюда получаем два корня:

\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 6 \]

Таким образом, нули функции: \( x = 0 \) и \( x = 6 \).

Промежутки знакопостоянства

Чтобы найти промежутки знакопостоянства, нужно анализировать знак функции на интервалах, образованных нулями и запрещенными значениями (где функция не определена). Функция не определена, когда знаменатель равен нулю:

\[ x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -6 \]

Теперь у нас есть три критических точки: \( x = -6 \), \( x = 0 \) и \( x = 6 \). Эти точки определяют следующие промежутки:

1. \( (-\infty, -6) \)
2. \( (-6, 0) \)
3. \( (0, 6) \)
4. \( (6, +\infty) \)

Теперь проверим знак функции на каждом из этих промежутков, использовав тестовые точки.

1. Промежуток \( (-\infty, -6) \): возьмем точку \( x = -7 \): \[ y = \frac{(-7)^2 - 6(-7)}{-7 + 6} = \frac{49 + 42}{-1} = -91 \quad (\text{отрицательное}) \]

2. Промежуток \( (-6, 0) \): возьмем точку \( x = -1 \): \[ y = \frac{(-1)^2 - 6(-1)}{-1 + 6} = \frac{1 + 6}{5} = \frac{7}{5} \quad (\text{положительное}) \]

3. Промежуток \( (0, 6) \): возьмем точку \( x = 1 \): \[ y = \frac{1^2 - 6 \cdot 1}{1 + 6} = \frac{1 - 6}{7} = \frac{-5}{7} \quad (\text{отрицательное}) \]

4. Промежуток \( (6, +\infty) \): возьмем точку \( x = 7 \): \[ y = \frac{7^2 - 6 \cdot 7}{7 + 6} = \frac{49 - 42}{13} = \frac{7}{13} \quad (\text{положительное}) \]

Итог

Теперь можем подытожить результаты:

• Нули функции: \( x = 0 \) и \( x = 6 \)
• Промежутки знакопостоянства:
  • \( (-\infty, -6) \): отрицательно
  • \( (-6, 0) \): положительно
  • \( (0, 6) \): отрицательно
  • \( (6, +\infty) \): положительно

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь в других темах, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться!