T⁴+10t²+25=0

Чтобы решить уравнение \( t^4 + 10t^2 + 25 = 0 \), начнем с замены переменной. Обозначим \( x = t^2 \). Тогда уравнение можно переписать как:

\[ x^2 + 10x + 25 = 0. \]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 10 \), и \( c = 25 \).

Подставим значения:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0. \]

Поскольку дискриминант равен нулю, это означает, что у уравнения есть один двойной корень.

Теперь находим корень:

\[ x = \frac{{-b}}{2a} = \frac{{-10}}{2 \cdot 1} = \frac{{-10}}{2} = -5. \]

Теперь вернемся к переменной \( t \):

\[ t^2 = -5. \]

Так как \( t^2 \) не может быть отрицательным в области действительных чисел, корни уравнения \( t^4 + 10t^2 + 25 = 0 \) являются комплексными.

Поэтому:

\[ t = \pm i \sqrt{5}, \]

где \( i \) — это мнимая единица. Таким образом, у уравнения есть два комплексных корня:

\[ t_1 = i \sqrt{5}, \quad t_2 = -i \sqrt{5}. \]

Если у вас будут еще вопросы или вам нужно разъяснить какие-то аспекты решения, не стесняйтесь спрашивать!