найдите периметр треугольника MNP , если М (4;0) N (12;-2) P (5;-9)

Чтобы найти периметр треугольника MNP с вершинами M(4,0), N(12,-2) и P(5,-9), сначала найдем длины каждой из сторон треугольника. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

1. Длина стороны MN:

   • \( M(4, 0) \) и \( N(12, -2) \) \[ MN = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \]

2. Длина стороны NP:

   • \( N(12, -2) \) и \( P(5, -9) \) \[ NP = \sqrt{(5 - 12)^2 + (-9 + 2)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \]

3. Длина стороны PM:

   • \( P(5, -9) \) и \( M(4, 0) \) \[ PM = \sqrt{(4 - 5)^2 + (0 + 9)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} \]

Теперь складываем длины всех сторон, чтобы найти периметр треугольника MNP:

\[ P = MN + NP + PM = 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82} \]

Итак, периметр треугольника MNP равен \( 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82} \).