Планета имеет радиус в два раза меньший радиуса Земли, а ускорение свободного падения, такое же, как на Земле. Чему равно отношение массы планеты к массе Земли

Давайте обозначим радиус Земли как \( R \) и массу Земли как \( M \).

Согласно условиям задачи, радиус планеты равен \( r = \frac{R}{2} \). Ускорение свободного падения на поверхности планеты \( g \) равно ускорению свободного падения на поверхности Земли \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \).

Ускорение свободного падения на поверхности планеты можно выразить через его массу и радиус с помощью формулы:

\[ g = \frac{G M}{r^2} \]

где \( G \) — гравитационная постоянная, \( M \) — масса планеты, а \( r \) — радиус планеты.

Для Земли эта формула выглядит так:

\[ g = \frac{G M}{R^2} \]

Так как на обеих планетах значение ускорения свободного падения одинаково, то можем приравнять эти два выражения:

\[ \frac{G M_{\text{планета}}}{\left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{G M_{\text{Земля}}}{R^2} \]

Сократим \( G \) и умножим обе стороны на \( \left(\frac{R}{2}\right)^2 \) и \( R^2 \):

\[ M_{\text{планета}} \cdot R^2 = M_{\text{Земля}} \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 \]

Теперь упростим правую часть уравнения:

\[ M_{\text{планета}} \cdot R^2 = M_{\text{Земля}} \cdot \frac{R^2}{4} \]

Теперь разделим обе стороны на \( R^2 \):

\[ M_{\text{планета}} = \frac{M_{\text{Земля}}}{4} \]

Таким образом, отношение массы планеты к массе Земли будет:

\[ \frac{M_{\text{планета}}}{M_{\text{Земля}}} = \frac{1}{4} \]

Ответ: отношение массы планеты к массе Земли равно \( \frac{1}{4} \).