1. Сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости. Сформулируйте и докажите теорему,выражающую признак параллельности прямой и плоскости. 2. Докажите ,что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость ,то и другая прямая пересекает эту плоскость. 3. Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью,проходящей через точки B, C и середину ребра AD. Вычислите периметра сечения.

1. Определение параллельных прямой и плоскости

Определение: Прямая называется параллельной плоскости, если она не пересекает ее и не лежит в ней.

Теорема о признаке параллельности прямой и плоскости: Если прямая не пересекает ни одной из точек плоскости и не лежит в ней, то она параллельна этой плоскости.

Доказательство: Рассмотрим плоскость π и прямую l.

1. Предположим, что l и π пересекаются в некоторой точке P. В этом случае по определению прямая и плоскость не могут быть параллельны, так как они имеют общую точку.

2. Если прямая l не пересекает плоскость π, то по определению параллельности они могут быть расположены так, что прямая l будет находиться в параллельном положении к любой линии, проведенной в плоскости π. Таким образом, все точки прямой l имеют одинаковые расстояния до любой точки на плоскости π.

Это и означает, что прямая l не может пересекаться с плоскостью π, что и завершает наше доказательство параллельности.

2. Доказательство пересечения параллельных прямых и плоскости

Условие: Пусть у нас есть две параллельные прямые l₁ и l₂. Предположим, что прямая l₁ пересекает плоскость π.

Доказательство:

1. Если прямая l₁ пересекает плоскость π в некоторой точке A, то точка A принадлежит и прямой l₁, и плоскости π.
2. Поскольку l₁ и l₂ параллельны, это означает, что все точки на прямой l₂ находятся на одинаковом расстоянии от любой точки на плоскости π.
3. Такой способ расположения не позволяет прямой l₂ оставаться вне плоскости π, если l₁ пересекает π. В этом случае, прямая l₂ также должна пересекать плоскость π, поскольку она не может быть отделена от точки в плоскости.

Таким образом, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая также пересекает эту плоскость.

3. Построение сечения тетраэдра и вычисление периметра

Рассмотрим тетраэдр DABC, у всех сторон которого длина равна 2 см.

1. Построение тетраэдра:

   • Вершины A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(0, 0, 2).
   • Ребро AD: точки A и D имеют координаты (0, 0, 0) и (0, 0, 2) соответственно, середина отрезка AD будет находиться в точке M(0, 0, 1).

2. Сечение:

   • Плоскость проходит через точки B(2, 0, 0), C(0, 2, 0) и M(0, 0, 1).

3. Вычисление координат сечения:

   • Расположение точек B, C и M в пространстве позволит нам построить треугольник BCM. Для нахождения длины сторон треугольника BCM:

   • Длина BC: \(BC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

   • Длина BM: \(BM = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}\).

   • Длина CM: \(CM = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}\).

4. Периметр сечения:

   • Периметр \(P\) равен сумме длин сторон: \(P = BC + BM + CM = 2\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}\).

Следовательно, периметр сечения тетраэдра через точки B, C и середину ребра AD равен \(2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}\) см.