(х+1)(х-2)(х+5)>0

Чтобы решить неравенство \((x+1)(x-2)(x+5)>0\), следуйте этим шагам:

1. Найдем нули произведения: Для этого решим уравнение \((x+1)(x-2)(x+5) = 0\). Нули будут в следующих точках:

   • \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
   • \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
   • \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)

   Таким образом, нули функции — это \(x = -5\), \(x = -1\), и \(x = 2\).

2. Определим интервалы: Эти нули делят числовую прямую на четыре интервала:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (-5, -1) \)
   • \( (-1, 2) \)
   • \( (2, +\infty) \)

3. Проверим знак произведения в каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, -5) \), например, подставим \( x = -6 \): \((−6 + 1)(−6 - 2)(−6 + 5) = (−5)(−8)(−1) < 0\)
   • Для интервала \( (-5, -1) \), например, подставим \( x = -3 \): \((−3 + 1)(−3 - 2)(−3 + 5) = (−2)(−5)(2) > 0\)
   • Для интервала \( (-1, 2) \), например, подставим \( x = 0 \): \((0 + 1)(0 - 2)(0 + 5) = (1)(−2)(5) < 0\)
   • Для интервала \( (2, +\infty) \), например, подставим \( x = 3 \): \((3 + 1)(3 - 2)(3 + 5) = (4)(1)(8) > 0\)

4. Соберем результаты: Неравенство \((x+1)(x-2)(x+5)>0\) выполняется на интервалах \((-5, -1)\) и \((2, +\infty)\).

5. Запишем окончательный ответ: Решением неравенства являются два интервала: \( x \in (-5, -1) \cup (2, +\infty) \).

Если есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!