Найди область определения выражения √5-x-x-1/4 + √2x-x/2-2

Чтобы найти область определения данного выражения, необходимо рассмотреть условия, при которых каждое из корней определено.

1. Первый корень: √(5 - x - x - 1/4)

   Для корня из выражения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: \[ 5 - x - \frac{x}{4} \geq 0 \] Упростим это неравенство: \[ 5 - \frac{4x}{4} - \frac{x}{4} = 5 - \frac{5x}{4} \geq 0 \] Прибавим \(\frac{5x}{4}\) к обеим сторонам: \[ 5 \geq \frac{5x}{4} \] Умножим обе стороны на 4: \[ 20 \geq 5x \] Разделим на 5: \[ 4 \geq x \quad \text{или} \quad x \leq 4 \]

2. Второй корень: √(2x - x/2 - 2)

   Также для второго корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 2x - \frac{x}{2} - 2 \geq 0 \] Упростим это неравенство: \[ 2x - \frac{1}{2}x - 2 = \frac{4x}{2} - \frac{1x}{2} - 2 = \frac{3x}{2} - 2 \geq 0 \] Прибавим 2 к обеим сторонам: \[ \frac{3x}{2} \geq 2 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 3x \geq 4 \] Разделим на 3: \[ x \geq \frac{4}{3} \]

Теперь объединим оба условия:

\[ \frac{4}{3} \leq x \leq 4 \]

Таким образом, область определения выражения: \[ \left[\frac{4}{3}, 4\right] \]

Это означает, что все значения \(x\) в этом диапазоне делают первоначально данное выражение корректным и определённым.