Найди ускорение свободного падения на планете Уран, если масса Урана равна 14 14 масс Земли, а радиус в 4 4 раза больше радиуса Земли. Массу Земли принять равной 6 ⋅ 1 0 24 6⋅10 24 кг.
Чтобы найти ускорение свободного падения на планете Уран, используем формулу для вычисления гравитационного ускорения:
\[ g = \frac{G \cdot M}{R^2} \]
где \( g \) — ускорение свободного падения, \( G \) — гравитационная постоянная (\( G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \)), \( M \) — масса планеты, а \( R \) — радиус планеты.
Дано, что масса Урана равна 14 масс Земли. Используем массу Земли:
\[ M_{\text{Уран}} = 14 \cdot M_{\text{Земля}} = 14 \cdot 6 \cdot 10^{24} \, \text{кг} = 8.4 \cdot 10^{25} \, \text{кг} \]
Радиус Урана в 4 раза больше радиуса Земли. Обозначим радиус Земли как \( R_{\text{Земля}} \). Тогда радиус Урана будет:
\[ R_{\text{Уран}} = 4 \cdot R_{\text{Земля}} \]
Принимаем радиус Земли примерно равным \( 6.37 \cdot 10^6 \, \text{м} \):
\[ R_{\text{Уран}} = 4 \cdot 6.37 \cdot 10^6 \, \text{м} = 2.548 \cdot 10^7 \, \text{м} \]
Теперь подставим значения массы и радиуса в формулу для ускорения свободного падения:
\[ g_{\text{Уран}} = \frac{G \cdot M_{\text{Уран}}}{R_{\text{Уран}}^2} \]
Подставим все известные значения:
\[ g_{\text{Уран}} = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 8.4 \cdot 10^{25}}{(2.548 \cdot 10^{7})^2} \]
Расчитаем знаменатель:
\[ (2.548 \cdot 10^{7})^2 = 6.5 \cdot 10^{14} \, \text{м}^2 \]
Теперь подставим это в формулу для \( g_{\text{Уран}} \):
\[ g_{\text{Уран}} = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 8.4 \cdot 10^{25}}{6.5 \cdot 10^{14}} \]
Теперь рассчитаем:
- Вычислим числитель:
\[ 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 8.4 \cdot 10^{25} = 5.607 \cdot 10^{15} \]
- Теперь делим числитель на знаменатель:
\[ g_{\text{Уран}} = \frac{5.607 \cdot 10^{15}}{6.5 \cdot 10^{14}} \approx 8.63 \, \text{м/с}^2 \]
Таким образом, ускорение свободного падения на Уране составляет примерно \( 8.63 \, \text{м/с}^2 \).
