Средняя линия трапеции равна 20 и делит данную трапецию на две трапеции, средние линии которых относятся как 17:23. Найдите меньшее основание трапеции

Для решения задачи начнем с понятия о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований, то есть:

\[ M = \frac{a + b}{2}, \]

где \( M \) — средняя линия, \( a \) и \( b \) — основания трапеции.

Дано, что средняя линия равна 20, следовательно:

\[ \frac{a + b}{2} = 20 \implies a + b = 40. \quad (1) \]

Также известно, что средние линии двух получившихся трапеций относятся как 17:23. Обозначим среднюю линию первой трапеции через \( M_1 \) и второй через \( M_2 \).

Так как средняя линия первой трапеции равна:

\[ M_1 = \frac{a + M}{2}, \]

где \( M \) — это средняя линия всей трапеции. Она равна 20. Аналогично для второй трапеции:

\[ M_2 = \frac{M + b}{2}. \]

Из условия, что \( M_1 : M_2 = 17 : 23 \), можно записать следующее соотношение:

\[ \frac{M_1}{M_2} = \frac{17}{23}. \]

Подставим выражения для \( M_1 \) и \( M_2 \):

\[ \frac{\frac{a + 20}{2}}{\frac{20 + b}{2}} = \frac{17}{23}. \]

Упростим это уравнение:

\[ \frac{a + 20}{20 + b} = \frac{17}{23}. \]

Перекрестным сложением получаем:

\[ 23(a + 20) = 17(20 + b). \]

Раскроем скобки:

\[ 23a + 460 = 340 + 17b. \]

Теперь соберем все члены на одну сторону:

\[ 23a - 17b = 340 - 460, \] \[ 23a - 17b = -120. \quad (2) \]

Теперь у нас система из уравнений (1) и (2):

1. \( a + b = 40 \)
2. \( 23a - 17b = -120 \)

Теперь выразим \( b \) через \( a \) из первого уравнения:

\[ b = 40 - a. \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ 23a - 17(40 - a) = -120. \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 23a - 680 + 17a = -120, \] \[ 40a - 680 = -120, \] \[ 40a = 560, \] \[ a = 14. \]

Теперь найдем \( b \):

\[ b = 40 - a = 40 - 14 = 26. \]

Итак, меньшее основание трапеции равно 14.

Ответ: меньшее основание трапеции равно 14.