На занятии по физического кружка, насчитавшего 10 членов, учитель спросил,выписывают ли члены кружка журналы "Квант"(К), "Техника молодежи(Т) и Южный техник(Ю).Оказалось,что 6 человек выписывают К, 5-Т, 5-Ю,3-К и Т,3-К и Ю,2-Т и Ю, а один человек не выписывает ни одного из трех журналов. Сколько членов кружка выписывают только один журнал?

Question 1

Задача Задача №2165170

А

Аноним

10 ноября 2024 12:55 · публичный вопрос

А

Аноним 10 ноября 2024 12:55

На занятии по физического кружка, насчитавшего 10 членов, учитель спросил,выписывают ли члены кружка журналы "Квант"(К), "Техника молодежи(Т) и Южный техник(Ю).Оказалось,что 6 человек выписывают К, 5-Т, 5-Ю,3-К и Т,3-К и Ю,2-Т и Ю, а один человек не выписывает ни одного из трех журналов. Сколько членов кружка выписывают только один журнал?

Answer

Чтобы решить эту задачу, будем использовать метод включения-исключения. Дано:

Общее количество членов кружка: \( n = 10 \)
Число членов, выписывающих журналы:
- \( |K| = 6 \) (журнал "Квант")
- \( |T| = 5 \) (журнал "Техника молодежи")
- \( |Y| = 5 \) (журнал "Южный техник")
Число членов, выписывающих пересечения журналов:
- \( |K \cap T| = 3 \) (выписывают и "Квант", и "Техника молодежи")
- \( |K \cap Y| = 3 \) (выписывают и "Квант", и "Южный техник")
- \( |T \cap Y| = 2 \) (выписывают и "Техника молодежи", и "Южный техник")
Число членов, не выписывающих ни одного журнала: 1

Сначала найдем количество членов кружка, которые выписывают хотя бы один журнал: \[ n - 1 = 10 - 1 = 9 \]

Теперь применим формулу включения-исключения для нахождения общего числа членов, которые выписывают хотя бы один журнал: \[ |K \cup T \cup Y| = |K| + |T| + |Y| - |K \cap T| - |K \cap Y| - |T \cap Y| + |K \cap T \cap Y| \]

Обозначим число членов, выписывающих все три журнала как \( x \). Тогда: \[ 9 = 6 + 5 + 5 - 3 - 3 - 2 + x \] \[ 9 = 16 - 8 + x \] \[ 9 = 8 + x \] \[ x = 1 \]

Теперь мы знаем, что \( x = 1 \), то есть, только один человек выписывает все три журнала.

Далее, найдем количество членов, выписывающих только один журнал:

Члены, выписывающие только "Квант": \[ |K| - |K \cap T| - |K \cap Y| + |K \cap T \cap Y| = 6 - 3 - 3 + 1 = 1 \]
Члены, выписывающие только "Техника молодежи": \[ |T| - |K \cap T| - |T \cap Y| + |K \cap T \cap Y| = 5 - 3 - 2 + 1 = 1 \]
Члены, выписывающие только "Южный техник": \[ |Y| - |K \cap Y| - |T \cap Y| + |K \cap T \cap Y| = 5 - 3 - 2 + 1 = 1 \]

Теперь сложим все: \[ 1 + 1 + 1 = 3 \]

Таким образом, количество членов кружка, выписывающих только один журнал, равно 3.

Question 2

На занятии по физического кружка, насчитавшего 10 членов, учитель спросил,выписывают ли члены кружка журналы "Квант"(К), "Техника молодежи(Т) и Южный техник(Ю).Оказалось,что 6 человек выписывают К, 5-Т, 5-Ю,3-К и Т,3-К и Ю,2-Т и Ю, а один человек не выписывает ни одного из трех журналов. Сколько членов кружка выписывают только один журнал?

Answer

Чтобы решить эту задачу, будем использовать метод включения-исключения. Дано: - Общее количество членов кружка: \( n = 10 \) - Число членов, выписывающих журналы: - \( |K| = 6 \) (журнал "Квант") - \( |T| = 5 \) (журнал "Техника молодежи") - \( |Y| = 5 \) (журнал "Южный техник") - Число членов, выписывающих пересечения журналов: - \( |K \cap T| = 3 \) (выписывают и "Квант", и "Техника молодежи") - \( |K \cap Y| = 3 \) (выписывают и "Квант", и "Южный техник") - \( |T \cap Y| = 2 \) (выписывают и "Техника молодежи", и "Южный техник") - Число членов, не выписывающих ни одного журнала: 1 Сначала найдем количество членов кружка, которые выписывают хотя бы один журнал: \[ n - 1 = 10 - 1 = 9 \] Теперь применим формулу включения-исключения для нахождения общего числа членов, которые выписывают хотя бы один журнал: \[ |K \cup T \cup Y| = |K| + |T| + |Y| - |K \cap T| - |K \cap Y| - |T \cap Y| + |K \cap T \cap Y| \] Обозначим число членов, выписывающих все три журнала как \( x \). Тогда: \[ 9 = 6 + 5 + 5 - 3 - 3 - 2 + x \] \[ 9 = 16 - 8 + x \] \[ 9 = 8 + x \] \[ x = 1 \] Теперь мы знаем, что \( x = 1 \), то есть, только один человек выписывает все три журнала. Далее, найдем количество членов, выписывающих только один журнал: - Члены, выписывающие только "Квант": \[ |K| - |K \cap T| - |K \cap Y| + |K \cap T \cap Y| = 6 - 3 - 3 + 1 = 1 \] - Члены, выписывающие только "Техника молодежи": \[ |T| - |K \cap T| - |T \cap Y| + |K \cap T \cap Y| = 5 - 3 - 2 + 1 = 1 \] - Члены, выписывающие только "Южный техник": \[ |Y| - |K \cap Y| - |T \cap Y| + |K \cap T \cap Y| = 5 - 3 - 2 + 1 = 1 \] Теперь сложим все: \[ 1 + 1 + 1 = 3 \] Таким образом, количество членов кружка, выписывающих только один журнал, равно 3.