Для составления графика дежурств класс разбили на 7 групп по 3 человека в каждой. Найдите вероятность того, что учащиеся в этом классе Таня и Даня попадут в одну группу.

Для того чтобы найти вероятность того, что Таня и Даня окажутся в одной группе, сначала определим общее количество учащихся и количество групп.

1. Количество групп: 7
2. Число человек в каждой группе: 3
3. Общее число человек в классе: \( 7 \times 3 = 21 \)

Теперь определим, сколько способов можно разбить 21 учащегося на 7 групп по 3 человека:

• Для формирования групп мы можем воспользоваться формулой сочетаний, но для более простого подхода воспользуемся методом разбиения.

А теперь найдем количество способов, как Таня и Даня могут оказаться в одной группе. Если Таня и Даня уже в одной группе, нам нужно выбрать оставшихся 1 человека из 19 оставшихся учащихся (поскольку Таня и Даня уже выбраны, остается 19 человек).

1. Выберем третьего человека в их группе: это можно сделать 19 способами.
2. После этого нужно распределить оставшиеся 18 человек по 6 группам по 3 человека.

Количество способов разбить 18 человек на 6 групп по 3 человека можно вычислить как:

\[ \frac{(18)!}{(3!)^6 \cdot 6!} \]

Теперь, зная, что мы можем выбрать третьего человека 19 способами, общее количество способов, чтобы Таня и Даня были в одной группе, будет равно:

\[ 19 \cdot \frac{(18)!}{(3!)^6 \cdot 6!} \]

Теперь найдем общее количество способов разбить 21 человека на 7 групп:

\[ \frac{(21)!}{(3!)^7 \cdot 7!} \]

Теперь вероятность того, что Таня и Даня будут вместе в одной группе, будет равна:

\[ P = \frac{19 \cdot \frac{(18)!}{(3!)^6 \cdot 6!}}{\frac{(21)!}{(3!)^7 \cdot 7!}} \]

Упростим данное выражение:

\[ P = \frac{19 \cdot (3!)^7 \cdot 7! \cdot (18)!}{(21)! \cdot (3!)^6 \cdot 6!} \]

Поскольку \( (21)! = 21 \cdot (20) \cdot (20)! \), можно упростить это до:

\[ P = \frac{19 \cdot 7!}{21 \cdot 20 \cdot 6!} \]

Теперь подставим факторы:

\[ P = \frac{19 \cdot 7 \cdot 6!}{21 \cdot 20 \cdot 6!} = \frac{19 \cdot 7}{21 \cdot 20} \]

Теперь можно вычислить:

\[ P = \frac{133}{420} = \frac{19}{60} \]

Таким образом, вероятность того, что Таня и Даня окажутся в одной группе, равна \(\frac{19}{60}\).