312 a) В одном классе 85% учащихся ходили в поход, а 75% - ходили в театр. Чему равен наименьший и наибольший процент учащихся, побывавших и в походе, и в театре? У 543 б) По статистике, в одном портовом городе 90% населения умеют объясняться на английском языке, 85% - на немецком языке, 75% - на испанском языке, а 80% - на французском языке. Какой наименьший и наибольший процент населения этого портового города может изъясняться на всех 4 языках?
a) Дано, что в классе 85% учащихся ходили в поход, а 75% - в театр. Чтобы найти наименьший и наибольший процент учащихся, которые побывали и в походе, и в театре, воспользуемся принципом включения-исключения.
Наибольший процент: Наибольшее количество учащихся, которое могло бы побывать и в походе, и в театре, невозможно превышает 100%. Таким образом, максимальный процент будет равен:
\( \text{Макс}(A \cap B) = \min(85\%, 75\%) = 75\% \).
Наименьший процент: Для нахождения наименьшего процента воспользуемся формулой:
\( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \),
где \( |A| = 85\% \) и \( |B| = 75\%. \) Нам нужно определить минимальное значение \( |A \cap B| \).
Если все, кто ходил в театр, также ходили в поход, получается:
\( 85\% + 75\% - |A \cap B| \leq 100\% \)
Решим это неравенство:
\( 160\% - |A \cap B| \leq 100\% \) \( |A \cap B| \geq 60\% \).
Таким образом, наименьший процент учащихся, побывавших и в походе, и в театре, равен 60%.
Ответ: Наименьший процент – 60%, наибольший – 75%.
б) Теперь обратимся ко второму вопросу о проценте населения портового города, которое умеет объясняться на всех четырех языках.
Наибольший процент: Наибольшее число людей, которые могут говорить на всех языках, не может превышать наименьший процент. Следовательно,
\( \text{Макс} = \min(90\%, 85\%, 75\%, 80\%) = 75\% \).
Наименьший процент: Для нахождения наименьшего процента также воспользуемся тем же принципом включения-исключения. Определим минимальный процент, который будет говорить на всех четырёх языках.
Сначала найдем максимальный процент, который может уметь говорить хотя бы на одном языке: \( 90\% + 85\% + 75\% + 80\% = 330\% \).
Чтобы найти наименьший процент, снова используем аналогичное неравенство:
\( |A \cup B \cup C \cup D| \leq 100\% \), что означает, что:
\( 330\% - |A \cap B \cap C \cap D| \leq 100\% \).
Решим это неравенство:
\( |A \cap B \cap C \cap D| \geq 230\% \),
что нереально, так как 100% - это максимум.
Это означает, что сумма процентов превышает 100%, и следовательно, минимальное значение будет равно \( \max(0, 90+85+75+80 - 300) = 30\% \).
Ответ: Наименьший процент – 30%, наибольший – 75%.
