16 Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M. Известно, что AMC  119. Мера дуги BC меньше меры дуги AD на 22 (см. рисунок). Найдите меру дуги BC. Ответ укажите в граду-…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть две хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M. Из условия задачи нам известно, что угол \(\angle AMC = 119^\circ\) и мера дуги BC меньше меры дуги AD на \(22^\circ\).

Сначала давайте обозначим меры дуг:

• Пусть мера дуги BC будет \(x\).
• Тогда мера дуги AD будет \(x + 22^\circ\).

Согласно теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на дугу, равен половине меры этой дуги. То есть:

\[ \angle AMC = \frac{1}{2} (ARC + ADB) \]

Для угла \(AMC\) мы знаем, что:

\[ \angle AMC = \frac{1}{2} (x + (x + 22^\circ)) = \frac{1}{2} (2x + 22^\circ) = x + 11^\circ \]

Теперь подставим известное значение угла:

\[ 119^\circ = x + 11^\circ \]

Выразим \(x\):

\[ x = 119^\circ - 11^\circ = 108^\circ \]

Таким образом, мера дуги BC составляет \(108^\circ\).

Теперь проверим также меру дуги AD:

\[ AD = x + 22^\circ = 108^\circ + 22^\circ = 130^\circ \]

Всё верно! Мы нашли меру дуги BC. Ответ: мера дуги BC равна \(108^\circ\).