В выражении ∗1∗2∗3∗4∗5 звездочки заменяют на плюсы или минусы. Сколько различных значений можно получить?
В выражении ∗1∗2∗3∗4∗5, звездочки могут быть заменены как на знаки «+», так и на знаки «-». Это означает, что у нас есть 5 звездочек, и для каждой из них есть 2 варианта. Таким образом, общее количество возможных комбинаций замены звездочек будет равно \(2^5\).
Посчитаем количество возможных комбинаций:
\[ 2^5 = 32 \]
Теперь нужно выяснить, сколько различных значений можно получить из этих 32 комбинаций. Для этого рассмотрим все возможные комбинации знаков.
Выражение можно переписать как:
\[ A = \pm 1 \pm 2 \pm 3 \pm 4 \pm 5 \]
Таким образом, сумма всех чисел от 1 до 5 равна:
\[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \]
Каждый раз, когда мы вместо сложения используем вычитание, мы уменьшаем сумму на удвоенное значение числа. Например, если мы вычитаем 1 вместо того, чтобы добавлять, это уменьшает общую сумму на 2.
Максимальная сумма, которую можно получить, это 15 (все «+»), а минимальная — это -15 (все «-»).
Теперь давайте найдем, какие значения могут принимать выражения. Мы можем получать числа, изменяя знаки перед числом, от 15 до -15.
Разные значения, которые могут быть получены, будут составлять последовательность четных и нечетных чисел. Наиболее низкое значение -15, а наиболее высокое значение 15, и каждое изменение знака меняет сумму на четное значение (уменьшая её на 2 или увеличивая на 2).
Таким образом, все значения, которые может принимать выражение, будут равны четным и нечетным числам от -15 до 15, то есть от -15 до 15 включительно. Это дает нам следующие возможные значения:
-15, -13, -11, -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
Теперь посчитаем, сколько чисел в этом диапазоне:
- От -15 до 15 — это 31 число, включая 0.
Таким образом, общее количество различных значений, которые можно получить, составляет 31.
