доказать что тела обменятся скоростями если удар абсолютно упругий и массы тела равны по закону сохранения импульса без закона сохранения энергии

Для того чтобы доказать, что два тела обменяются скоростями при абсолютно упругом ударе с равными массами, можно использовать закон сохранения импульса.

Пусть два тела имеют одинаковую массу \( m \) и начальные скорости \( v_1 \) и \( v_2 \). После столкновения их скорости обозначим как \( v_1' \) и \( v_2' \).

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до столкновения равна сумме импульсов после столкновения:

\[ m v_1 + m v_2 = m v_1' + m v_2' \]

Если мы разделим все члены на \( m \) (что не меняет равенство, так как масса положительна), получим:

\[ v_1 + v_2 = v_1' + v_2' \]

Теперь, учитывая, что столкновение абсолютно упругое, также сохраняется энергия. Для абсолютно упругого удара выполняется условие:

\[ \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m v_1'^2 + \frac{1}{2} m v_2'^2 \]

Так как масса равна и общие множители \( \frac{1}{2} m \) могут быть исключены, у нас остается:

\[ v_1^2 + v_2^2 = v_1'^2 + v_2'^2 \]

Вместе эти два уравнения (для импульса и энергии) можно решить. Однако, если мы рассматриваем ситуацию, когда массы равны, интересный результат получается при анализе уравнений.

Если предположить, что одно тело находится в покое до удара (например, \( v_2 = 0 \)), и первое тело движется с некоторой скоростью \( v_1 \), то вставляя это в уравнение импульса:

\[ v_1 + 0 = v_1' + v_2' \]

И из уравнения сохранения энергии:

\[ v_1^2 + 0 = v_1'^2 + v_2'^2 \]

Можно показать, что в случае если одно тело изначально неподвижно, после абсолютно упругого столкновения, скорости тел поменяются местами:

\[ v_1' = 0 \quad \text{и} \quad v_2' = v_1. \]

Таким образом, если массы равны, в абсолютно упругом столкновении тела действительно обменяются скоростями.