Завод выпускает 5% бракованных батареек. Случайным образом из партии выбирают 4 батарейки. Постройте ряд распределения случайной величины Х - количество бракованных батареек среди…

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как мы имеем дело с фиксированным числом испытаний (в данном случае 4 батарейки), двумя возможными исходами (бракованная или не бракованная батарейка) и известной вероятностью успеха (в данном случае вероятность выбора бракованной батарейки равна 0.05).

Пусть \( X \) — случайная величина, представляющая количество бракованных батареек среди 4 выбранных. Тогда \( X \) следует биномиальному распределению \( B(n, p) \), где:

• \( n = 4 \) — общее количество испытаний,
• \( p = 0.05 \) — вероятность того, что батарейка бракованная.

Вероятности значений \( X \) можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь вычислим вероятности для \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \):

1. \( P(X = 0) \): \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.05)^0 \cdot (0.95)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.8145 \approx 0.8145 \]

2. \( P(X = 1) \): \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.05)^1 \cdot (0.95)^3 = 4 \cdot 0.05 \cdot 0.857375 \approx 0.1715 \]

3. \( P(X = 2) \): \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.05)^2 \cdot (0.95)^2 = 6 \cdot 0.0025 \cdot 0.9025 \approx 0.0135 \]

4. \( P(X = 3) \): \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.05)^3 \cdot (0.95)^1 = 4 \cdot 0.000125 \cdot 0.95 \approx 0.000475 \]

5. \( P(X = 4) \): \[ P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.05)^4 \cdot (0.95)^0 = 1 \cdot 0.00000625 \cdot 1 \approx 0.00000625 \]

Теперь можем составить ряд распределения случайной величины \( X \):

Полигон распределения

Для построения полигона распределения нужно отложить на горизонтальной оси значения \( k \) и на вертикальной — соответствующие вероятности \( P(X=k) \). Это можно сделать, например, в программе для построения графиков (Excel, Python и т.д.).

Математическое ожидание

Математическое ожидание биномиальной случайной величины \( X \) вычисляется по формуле: \[ E(X) = n \cdot p \] Подставим наши значения:

\[ E(X) = 4 \cdot 0.05 = 0.2 \]

Ответы

1. Ряд распределения случайной величины \( X \):

   • \( P(X = 0) \approx 0.8145 \)
   • \( P(X = 1) \approx 0.1715 \)
   • \( P(X = 2) \approx 0.0135 \)
   • \( P(X = 3) \approx 0.000475 \)
   • \( P(X = 4) \approx 0.00000625 \)

2. Математическое ожидание \( E(X) \approx 0.2 \)