В тетраэдре ABCS точки A штрих, B штрих, C штрих- соответственно середины рёбер SA, SB и SC, а O штрих точка пересечения медиан треугольника A штрих B штрих C штрих. Если вектор O штрих C штрих равен вектору e1, вектор O штрих B штрих равен вектору e2, вектор O штрих S равен вектору e3. Найдите координаты вектор CS в базисе {e1,e2,e3}

Чтобы найти координаты вектора \( \vec{CS} \) в базисе \( \{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \} \), нам нужно разобраться с геометрией задачи и со свойствами векторов.

1. Обозначения:

   • Пусть \( S \) — вершина тетаэдра.
   • \( A', B', C' \) — середины рёбер \( SA, SB, SC \) соответственно.
   • \( O' \) — точка пересечения медиан треугольника \( A'B'C' \).

2. Векторы:

   • Из условия задачи мы знаем, что:
     • \( \vec{O'C'} = \vec{e_1} \)
     • \( \vec{O'B'} = \vec{e_2} \)
     • \( \vec{O'S} = \vec{e_3} \)

3. Система координат:

   • Точки \( O', C', B', S \) необходимо выразить через векторы. Сначала запишем векторы в базисе \( \{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \} \).

4. Вектор \( \vec{CS} \):

   • Используем определение вектора. Мы можем выразить вектор \( \vec{CS} \) как разность векторов: \[ \vec{CS} = \vec{S} - \vec{C} \]

5. Преобразование:

   • Вектор \( \vec{S} \) можно выразить через \( O' \): \[ \vec{S} = \vec{O'} + \vec{e_3} \]
   • Вектор \( \vec{C} \) также выразим через \( O' \): \[ \vec{C} = \vec{O'} + \vec{e_1} \]

6. Вычисление:

   • Подставим выражения для \( \vec{S} \) и \( \vec{C} \) в уравнение для \( \vec{CS} \): \[ \vec{CS} = (\vec{O'} + \vec{e_3}) - (\vec{O'} + \vec{e_1}) = \vec{e_3} - \vec{e_1} \]

7. Координаты:

   • Теперь, в базисе \( \{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \} \), координаты вектора \( \vec{CS} \) будут: \[ \vec{CS} = (-1, 0, 1) \]

Следовательно, координаты вектора \( \vec{CS} \) в базисе \( \{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \} \) равны \( (-1, 0, 1) \).