Даны четыре вектора, вектор a=(2;1;0), вектор b=(1;-1;2), вектор c=(2;2;-1), вектор d=(3;7;-7) относительно некоторого базиса {вектор e1, вектор e2, вектор e3}. Тогда b=?*вектор a+?*вектор c+?*вектор d

Чтобы выразить вектор \( \mathbf{b} = (1, -1, 2) \) через векторы \( \mathbf{a} = (2, 1, 0) \), \( \mathbf{c} = (2, 2, -1) \) и \( \mathbf{d} = (3, 7, -7) \), нам нужно найти такие коэффициенты \( x, y, z \), которые будут удовлетворять следующему уравнению:

\[ \mathbf{b} = x \cdot \mathbf{a} + y \cdot \mathbf{c} + z \cdot \mathbf{d} \]

Подставим вектора в уравнение:

\[ (1, -1, 2) = x \cdot (2, 1, 0) + y \cdot (2, 2, -1) + z \cdot (3, 7, -7) \]

Это приводит к системе уравнений по компонентам:

1. \( 2x + 2y + 3z = 1 \)
2. \( 1x + 2y + 7z = -1 \)
3. \( 0x - 1y - 7z = 2 \)

Теперь решим эту систему. Начнем с третьего уравнения:

\[ -y - 7z = 2 \implies y = -2 - 7z \]

Подставим это значение \( y \) в первые два уравнения:

1. \( 2x + 2(-2 - 7z) + 3z = 1 \)

Упростим:

\[ 2x - 4 - 14z + 3z = 1 \implies 2x - 11z = 5 \implies x = \frac{11z + 5}{2} \]

2. \( x + 2(-2 - 7z) + 7z = -1 \)

Упрощаем:

\[ x - 4 - 14z + 7z = -1 \implies x - 7z = 3 \implies x = 7z + 3 \]

Теперь у нас есть два выражения для \( x \):

\[ \frac{11z + 5}{2} = 7z + 3 \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 11z + 5 = 14z + 6 \]

Переносим все члены с \( z \) на одну сторону:

\[ 11z - 14z = 6 - 5 \implies -3z = 1 \implies z = -\frac{1}{3} \]

Теперь подставим \( z \) обратно, чтобы найти \( y \):

\[ y = -2 - 7(-\frac{1}{3}) = -2 + \frac{7}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \]

Теперь найдем \( x \):

\[ x = 7(-\frac{1}{3}) + 3 = -\frac{7}{3} + 3 = -\frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{2}{3} \]

Таким образом, мы получили:

\[ x = \frac{2}{3}, \quad y = \frac{1}{3}, \quad z = -\frac{1}{3} \]

Ответ:

\[ \mathbf{b} = \frac{2}{3} \cdot \mathbf{a} + \frac{1}{3} \cdot \mathbf{c} - \frac{1}{3} \cdot \mathbf{d} \]