Доказать методом индукции a с индексом n =a1*d*(n-1)

Для доказательства утверждения типа \( a_n = a_1 \cdot d^{n-1} \) методом математической индукции, нам нужно следовать нескольким шагам. Предположим, что у нас есть последовательность, которая описывается данной формулой.

Шаг 1: База индукции

Начнем с проверки базы индукции, т.е. для \( n = 1 \):

\[ a_1 = a_1 \cdot d^{1-1} = a_1 \cdot d^0 = a_1 \cdot 1 = a_1 \]

Таким образом, база индукции верна.

Шаг 2: Индукционное предположение

Теперь предположим, что формула верна для некоторого \( n = k \):

\[ a_k = a_1 \cdot d^{k-1} \]

Шаг 3: Индукционный переход

Теперь докажем, что формула верна для \( n = k + 1 \):

\[ a_{k+1} = a_1 \cdot d^{(k+1)-1} = a_1 \cdot d^k \]

С учетом свойства арифметической прогрессии, мы знаем, что:

\[ a_{k+1} = a_k + d \]

Подставим наше индукционное предположение \( a_k \):

\[ a_{k+1} = (a_1 \cdot d^{k-1}) + d \]

Для выражения \( d \) также можем переписать его в виде:

\[ d = a_1 \cdot d^0 \]

Теперь нам нужно привести \( a_{k+1} \) к виду \( a_1 \cdot d^k \):

\[ a_{k+1} = a_1 \cdot d^{k-1} + a_1 \cdot d^0 = a_1 \cdot (d^{k-1} + d^0) = a_1 \cdot (d^{k-1} + 1) \]

Теперь, если \( d \) является постоянным множителем, мы можем сказать:

\[ a_{k+1} = a_1 \cdot d^k \]

Таким образом, индукционный переход выполнен, и формула действительно верна для \( n = k + 1 \).

Заключение

Поскольку база индукции верна и индукционный переход тоже завершен, мы можем заключить, что формула \( a_n = a_1 \cdot d^{n-1} \) верна для всех \( n \geq 1 \).