Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 46 см, а гипотенуза треугольника равна 34 см

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, где сумма катетов равна 46 см, а гипотенуза равна 34 см, можно использовать систему уравнений.

Обозначим катеты как \(a\) и \(b\). Тогда у нас есть два уравнения:

1. \(a + b = 46\) (сумма катетов)
2. \(a^2 + b^2 = 34^2\) (по теореме Пифагора)

Сначала найдем значение гипотенузы: \[ 34^2 = 1156. \]

Теперь подставим первое уравнение во второе. Из первого уравнения можно выразить \(b\): \[ b = 46 - a. \]

Теперь подставим это значение в уравнение по теореме Пифагора: \[ a^2 + (46 - a)^2 = 1156. \]

Раскроем скобки: \[ a^2 + (46^2 - 92a + a^2) = 1156. \] \[ 2a^2 - 92a + 2116 = 1156. \]

Упростим уравнение: \[ 2a^2 - 92a + 960 = 0. \]

Разделим все коэффициенты на 2 для упрощения: \[ a^2 - 46a + 480 = 0. \]

Теперь можно использовать дискриминант \(D\) для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480 = 2116 - 1920 = 196. \]

Теперь найдём корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{46 \pm 14}{2}. \]

Это даёт два возможных значения для \(a\):

1. \(a_1 = \frac{60}{2} = 30\),
2. \(a_2 = \frac{32}{2} = 16\).

Теперь подставим значения \(a\) обратно, чтобы найти соответствующие значения \(b\):

• Если \(a = 30\), тогда \(b = 46 - 30 = 16\).
• Если \(a = 16\), тогда \(b = 46 - 16 = 30\).

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны \(30\) см и \(16\) см.