Разность кубов двух натуральных чисел равна 1603. найдите эти числа, если их разность равна 7
Рассмотрим задачу: нам даны два натуральных числа \( a \) и \( b \), такие что разность кубов \( a^3 - b^3 = 1603 \) и разность самих чисел \( a - b = 7 \).
Мы можем воспользоваться формулой разности кубов, которая выглядит так:
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
Так как \( a - b = 7 \), подставим это значение в уравнение:
\[ 1603 = 7(a^2 + ab + b^2) \]
Теперь разделим обе стороны уравнения на 7:
\[ a^2 + ab + b^2 = \frac{1603}{7} \]
Выполним деление:
\[ \frac{1603}{7} = 229 \]
Теперь мы можем записать следующее уравнение:
\[ a^2 + ab + b^2 = 229 \]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- \( a - b = 7 \)
- \( a^2 + ab + b^2 = 229 \)
Из первого уравнения мы можем выразить \( a \) через \( b \):
\[ a = b + 7 \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\[ (b + 7)^2 + (b + 7)b + b^2 = 229 \]
Раскроем скобки:
\[ (b^2 + 14b + 49) + (b^2 + 7b) + b^2 = 229 \]
Сложим все подобные члены:
\[ 3b^2 + 21b + 49 = 229 \]
Теперь вычтем 229 из обеих сторон:
\[ 3b^2 + 21b + 49 - 229 = 0 \] \[ 3b^2 + 21b - 180 = 0 \]
Теперь у нас квадратное уравнение, которое можем решить с помощью дискриминанта. Сначала найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-180) = 441 + 2160 = 2601 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ b = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-21 \pm \sqrt{2601}}{6} \]
Вычислим \( \sqrt{2601} \):
\[ \sqrt{2601} = 51 \]
Теперь подставим это значение:
\[ b = \frac{-21 \pm 51}{6} \]
Рассмотрим два случая:
- \( b = \frac{-21 + 51}{6} = \frac{30}{6} = 5 \)
- \( b = \frac{-21 - 51}{6} = \frac{-72}{6} = -12 \) (это значение нам не подходит, так как \( b \) натуральное число)
Таким образом, \( b = 5 \). Теперь найдем \( a \):
\[ a = b + 7 = 5 + 7 = 12 \]
Итак, наши числа: \( a = 12 \) и \( b = 5 \). Проверим:
- \( a - b = 12 - 5 = 7 \) (всё верно)
- \( a^3 - b^3 = 12^3 - 5^3 = 1728 - 125 = 1603 \) (тоже верно)
Таким образом, искомые натуральные числа — это 12 и 5.
