Используя свойства функции f(x) = tg x, найдите: f(-19π/3)

Чтобы найти значение функции \( f(x) = \tan x \) в точке \( x = -\frac{19\pi}{3} \), сначала упростим угол.

Функция тангенс имеет период \( \pi \). Это означает, что \( \tan(x + n\pi) = \tan x \) для любого целого \( n \). Чтобы упростить угол, можно добавить или вычесть период, пока угол не попадет в интервал \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \).

1. Переведем \( -\frac{19\pi}{3} \) в более удобный вид, добавляя \( 2\pi \): \[ -\frac{19\pi}{3} + 2\pi = -\frac{19\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{13\pi}{3} \] \[ -\frac{13\pi}{3} + 2\pi = -\frac{13\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{7\pi}{3} \] \[ -\frac{7\pi}{3} + 2\pi = -\frac{7\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} \]

Теперь у нас есть \( -\frac{\pi}{3} \), что попадает в нужный диапазон.

2. Теперь вычислим значение функции тангенс: \[ f\left(-\frac{19\pi}{3}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) \]

Согласно свойствам тангенса: \[ \tan(-x) = -\tan(x) \] Таким образом: \[ \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Значение \( \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \). Поэтому: \[ \tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ f\left(-\frac{19\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \]