В равнобедренной трапеции длина боковой стороны 20 миллиметров, длины оснований 5 см и 7 см. найдите градусную меру большего угла трапеции.
Для решения задачи о равнобедренной трапеции, давайте обозначим:
- Длины оснований: \( a = 5 \) см, \( b = 7 \) см (где \( a \) — меньшая база, а \( b \) — большая);
- Длина боковой стороны: \( c = 20 \) мм = 2 см.
В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Обозначим угол при меньшем основании \( A \) и угол при большем основании \( B \). Мы ищем градусную меру угла \( B \).
Для начала найдем высоту трапеции. В равнобедренной трапеции можно провести перпендикуляры от вершин меньшего основания к большему. Обозначим расстояние от основания меньшего до большого как высоту \( h \), а основание, которое идет от точки, где проведен перпендикуляр, до конца большего основания, как \( x \).
Так как ведем перпендикуляры, находим \( x \) следующим образом:
\[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1 \text{ см}. \]
Теперь, используя теорему Пифагора в одном из треугольников, образованных боковой стороной, высотой и частью большего основания, мы имеем:
\[ c^2 = h^2 + x^2. \]
Подставим известные значения:
\[ 2^2 = h^2 + 1^2, \] \[ 4 = h^2 + 1, \] \[ h^2 = 4 - 1 = 3 \implies h = \sqrt{3} \text{ см}. \]
Теперь мы можем найти угол \( B \) по определению тангенса:
\[ \tan(B) = \frac{h}{x} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}. \]
Значение угла, для которого \( \tan(B) = \sqrt{3} \), это \( B = 60^\circ \).
Таким образом, градусная мера большего угла трапеции равна \( 120^\circ \), так как он является дополнением к углу \( A \) (60°) в рамках равнобедренной трапеции:
\[ \text{Угол } B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ. \]
Ответ: градусная мера большего угла трапеции равна \( 120^\circ \).
