Реши

Привет! Давай разберём все уравнения по порядку.

1. \((x^2 - 8)^2 + 4(x^2 - 8) - 5 = 0\)

Пусть \(y = x^2 - 8\). Тогда уравнение станет: \[ y^2 + 4y - 5 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдём его корни: \[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{16 + 20}}{2} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{16 + 20}}{2} = -5 \]

Вернёмся назад:

1. \( x^2 - 8 = 1 \), значит \( x^2 = 9 \), и поэтому \( x = 3 \) или \( x = -3 \).
2. \( x^2 - 8 = -5 \), следовательно, \( x^2 = 3 \), соответственно \( x = \sqrt{3} \) или \( x = -\sqrt{3} \).

2. \((x^2 + 6x)^2 + 8(x^2 + 6x) - 9 = 0\)

Теперь пусть \( z = x^2 + 6x\). Тогда уравнение станет: \[ z^2 + 8z - 9 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение: \[ z_1 = \frac{-8 + \sqrt{64 + 36}}{2} = 1 \] \[ z_2 = \frac{-8 - \sqrt{64 + 36}}{2} = -9 \]

Теперь решим:

1. \( x^2 + 6x = 1 \) получает уравнение \( x^2 + 6x - 1 = 0 \). Найдём корни: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = -3 \pm \sqrt{10} \]

2. \( x^2 + 6x = -9 \) получает уравнение \( x^2 + 6x + 9 = 0 \). Это квадрат разности, так что: \[ (x+3)^2 = 0 \], следовательно, \( x = -3 \).

3. \((x - \frac{1}{x})^2 - 3(x - \frac{1}{x}) - 4 = 0\)

Пусть \( t = x - \frac{1}{x} \). Тогда получаем: \[ t^2 - 3t - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение: \[ t_1 = \frac{3 + \sqrt{9 + 16}}{2} = 4 \] \[ t_2 = \frac{3 - \sqrt{9 + 16}}{2} = -1 \]

Решим для каждого \(t\):

1. \( x - \frac{1}{x} = 4 \) преобразуется в уравнение \( x^2 - 4x - 1 = 0 \). Найдём корни: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} \]

2. \( x - \frac{1}{x} = -1 \) преобразуется в уравнение \( x^2 + x - 1 = 0 \). Найдём корни: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Вот и всё! Если что-то неясно, спрашивай!