Две девочки массами m_{1} = 30 кг и m_{2} = 35 кг сидят на концах доски длиной L = 6 массой M = 25 кг. Доска находится в равновесия. Определите положение её точки опоры. Чему…

Чтобы определить положение точки опоры доски и силу реакции опоры, воспользуемся условиями равновесия.

1. Определение момента сил относительно точки опоры. Пусть точка опоры находится на расстоянии \( x \) от одного конца доски. Поскольку доска находится в равновесии, сумма моментов относительно точки опоры должна равняться нулю.

   Зададим:

   • \( m_1 = 30 \, \text{кг} \) – масса первой девочки,
   • \( m_2 = 35 \, \text{кг} \) – масса второй девочки,
   • \( M = 25 \, \text{кг} \) – масса доски,
   • \( L = 6 \, \text{м} \) – длина доски.

   Расположим нагрузки на доске. Если доска имеет длину 6 м и точка опоры находится на расстоянии \( x \) от девочки с массой \( m_1 \) (которая находится на одном конце), то расстояние от точки опоры до девочки с массой \( m_2 \) составит \( L - x \).

   Сумма моментов относительно точки опоры: \[ m_1 \cdot g \cdot x + \frac{M}{2} \cdot g \cdot x = m_2 \cdot g \cdot (L - x) \] Здесь \( g \) – ускорение свободного падения. Оно сокращается, не влияя на равенство моментов, поэтому можем его опустить: \[ m_1 \cdot x + \frac{M}{2} \cdot x = m_2 \cdot (L - x) \]

   Приведем к упростительному виду: \[ (m_1 + \frac{M}{2}) \cdot x = m_2 \cdot (L - x) \] Подставим известные значения: \[ (30 + \frac{25}{2}) x = 35 \cdot (6 - x) \] Упрощаем: \[ (30 + 12.5)x = 35 \cdot (6 - x) \] \[ 42.5x = 210 - 35x \] Объединим \( x \): \[ 42.5x + 35x = 210 \] \[ 77.5x = 210 \] \[ x = \frac{210}{77.5} \approx 2.71 \, \text{м} \]

2. Определение силы реакции опоры. Сила реакции опоры \( R \) равна сумме весов девочек и доски: \[ R = m_1 \cdot g + m_2 \cdot g + M \cdot g \] Упрощаем, так как \( g \) можно вынести за скобки: \[ R = g \cdot (m_1 + m_2 + M) \] Подставим массу: \[ R = g \cdot (30 + 35 + 25) = g \cdot 90 \]

Таким образом, вы определили положение точки опоры: \( x \approx 2.71 \, \text{м} \) и силу реакции опоры равную \( R = 90g \, \text{Н}\) (например, если взять \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \), то \( R \approx 882.9 \, \text{Н} \)).