На сторонах MN и NK треугольника MNK отмечены точки Q и S так, что MQ : QN = 3 : 4 и KS : SN = 3 : 4. Чемуравен отрезок QS, если MK = 21 мм?

В данном задаче у нас есть треугольник MNK, и на его сторонах MN и NK отмечены точки Q и S.

Сначала разберёмся с отрезками MQ и QN. У нас задано отношение MQ : QN = 3 : 4. Это означает, что если мы обозначим длину MQ как 3x, то длина QN будет равна 4x. Таким образом, полный отрезок MN равен:

\[ MN = MQ + QN = 3x + 4x = 7x \]

Аналогично, для отрезков KS и SN, где KS : SN = 3 : 4, если обозначим KS как 3y, то SN будет равно 4y. Тогда:

\[ NK = KS + SN = 3y + 4y = 7y \]

Теперь у нас есть соотношение между сторонами треугольника MK и длинами MQ, QN, KS и SN. Из условия задачи мы знаем, что MK равно 21 мм. Pассмотрим подобие треугольников.

Так как стороны MN и NK являются параллельными отрезками в результате наложения точек Q и S, мы можем установить пропорциональность между заданными отрезками. Мы можем написать пропорцию, используя соотношения MQ и KS к MN и NK соответственно.

Из условий мы получаем:

\[ \frac{MQ}{MN} = \frac{KS}{NK} \]

Теперь, подставив значения,

\[ \frac{3x}{7x} = \frac{3y}{7y} \]

Эти дроби равны, так что у нас есть:

\[ x = y \]

Используя эту информацию, мы можем сосчитать длину QS. Длина отрезка QS будет равна:

\[ QS = QN + SN = 4x + 4y = 4x + 4x = 8x \]

Теперь нам нужно выразить x в миллиметрах. Мы знаем, что:

\[ MN + NK = MK \]

Так как MN = 7x и NK = 7y, и x = y, то у нас получится:

\[ 7x + 7x = 21 \]

Отсюда:

\[ 14x = 21 \implies x = \frac{21}{14} = 1.5 \text{ мм} \]

Теперь подставим значение x в длину QS:

\[ QS = 8x = 8 \cdot 1.5 = 12 \text{ мм} \]

Таким образом, длина отрезка QS равна 12 мм.