Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему проходить во всякий день по 40 вëрст. на следующий день вслед ему был послан другой человек, и велено ему проходить по 45 вëрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

Чтобы решить задачу, нужно сначала вычислить, сколько верст пройдет первый человек, а затем определить, сколько времени потребуется второму человеку, чтобы его догнать.

1. Пусть первый человек выходит из Москвы и проходит 40 верст в день. Второй человек отправляется на следующий день и проходит 45 верст в день.
2. Разница в скорости между вторым и первым человеком составляет: \(45 \, \text{верст/день} - 40 \, \text{верст/день} = 5 \, \text{верст/день}\).

Теперь определим, какова разница в днях между их отправлением. Первый человек уже прошел 40 верст на следующий день, когда второй человек начинает свой путь.

3. За один день первый человек проходит 40 верст, а второй человек начинает на следующий день. Таким образом, у первого человека будет пробег в 40 верст перед тем, как второй человек начнет свой путь.

4. Теперь нужно узнать, сколько времени понадобится второму человеку, чтобы пройти 40 верст, используя разницу в скорости: \[ \text{Время (дни)} = \frac{\text{Расстояние (версты)}}{\text{Разница в скорости (версты/день)}} = \frac{40 \, \text{верст}}{5 \, \text{верст/день}} = 8 \, \text{дней}. \]

Таким образом, второй человек догонит первого через 8 дней после своего старта. Но поскольку он начинает на следующий день, общее время от начала пути первого человека составит 9 дней.

В итоге, второй человек догонит первого через 9 дней после выхода первого из Москвы.